Classes de Quatrième - Troisième

Mathématiques et TICE
Auteur : Arnaud Lasne

 

Le théorème de Varignon

 

Sommaire

Logiciels utilisables :

Logiciel de géométrie dynamique

Problème :
ABCD est un quadrilatère quelconque.
I, J, K et L sont les milieux respectifs de [AB], [BC] ,[CD] et [DA].

bulletQuelle est la nature du quadrilatère IJKL ?
bulletEst-il possible que IJKL soit un losange ?
Un carré ?
Quelle doit être alors, dans chaque cas, la nature de ABCD ?

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A- Constructions :

  1. Créer quatre points libres dans le plan : A, B, C et D.
     
  2. Tracer les segments [AB], [BC] ,[CD] et [DA].
     
  3. Créer I, J, K et L, milieux respectifs des segment [AB], [BC] ,[CD] et [DA].
     
  4. Tracer les segments [IJ], [JK], [KL] et [LI].
     

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B- Conjectures :

  1. En déplaçant les points A, B, C ou D,
     quelle conjecture peut-on émettre quand à la nature du quadrilatère IJKL ?
     
  2. Est-il possible que IJKL soit un losange ?
    Un carré ?
    Quelle semble être alors, dans chaque cas, la nature du quadrilatère ABCD ?
     

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C- Démonstrations :

  1. Démontrer la conjecture dans le cas ou le quadrilatère ABCD est un quadrilatère quelconque.
    On pourra pour ceci tracer une diagonale de ABCD et considérer les deux triangles ABD et BCD.
     
    bulletQuelles propriétés faut-il pour justifier la conjecture ?
     
    bulletQuel théorème peut s’appliquer aux triangles ABC et BCD ?
     
  2. Dans chaque cas, chercher à démontrer les conjectures en s’interrogeant sur :
     
    bulletQuelles propriétés faut-il pour justifier la conjecture ?
     
    bulletQuel théorème peut s’appliquer aux triangles ABC et BCD ?
     

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