Problèmes de constructions et de lieux géométriques

Tangentes communes à deux cercles tangents (2)

Objectif, niveau et difficultés
Il s’agit de décrire et de justifier un procédé de construction d’une tangente non triviale à deux cercles tangents. Le procédé décrit s’adapte à deux cercles non tangents, pourvu qu’ils ne soient pas contenus l’un dans l’autre. Le problème est analogue au précédent, mais la construction n’est pas donnée au départ. Sa détermination va résulter d’une méthode d’analyse et synthèse. Il est mieux adapté à la 2^nde ou à la 1^ère S. En série S, il donne également un procédé de construction d’un centre d’homothétie amenant un cercle sur l’autre.

Problème
Soit cet c’ deux cercles de centres respectifs O et O’, de rayons respectifs r et r’, avec r' < r.
On suppose que ces deux cercles sont tangents extérieurement en I.
Le but de ce problème est de construire une tangente commune à ces deux cercles, qui ne passe pas par le point I.

Analyse du problème

On suppose que la figure est réalisée, et on va en étudier des propriétés.

On note T et T’ les points de contact d’une tangente avec chacun des deux cercles.
La droite (TT’) coupe la droite (OO’) en K.
(On admet que ces deux droites sont sécantes.)

Démontrer que les points O, I, O’ sont alignés.
Prouver que les droites (OT) et (O’T’) sont parallèles.
Démontrer l’égalité : .
En déduire l’égalité : .

Réalisation de la construction

Il s’agit à présent de réaliser une figure correcte.

Tracer deux cercles cet c’ deux cercles de centres respectifs O et O’, de rayons respectifs r = 3 cm et r' = 2 cm, tangents extérieurement en I.
Construire le point K de la demi droite [OO’) tel que .
Construire le cercle de diamètre [KO’] ; ce cercle coupe le cercle c’ en deux points T’ et U’.
Expliquer pourquoi la droite (KT’) est tangente au cercle c’ en T’.
La parallèle à (O’T’) passant par O coupe la droite (KT’) en T.
Montrer que le point T appartient au cercle c et que la droite (KT’) est tangente au cercle c en T.
Rédiger une conclusion.