Les moyennes : à quoi ça sert ?

Base « moyenne » d’un trapèze et moyenne harmonique

Objectif, niveau et difficultés
Une étude géométrique originale constitue le premier point fort de ce problème ; il s’agit de calculer la longueur d’un segment particulier dans un trapèze : le segment parallèle aux bases et passant par le point d’intersection des diagonales. Le lien avec la moyenne harmonique est alors établi : c’est le deuxième intérêt de l’étude. Ce problème est abordable avec une classe de 3^ème de bon niveau, ou en classe de Seconde.

Le problème du bricoleur

Un bricoleur désire faire des travaux dans sa maison de campagne, schématisée ci-contre
(la figure n’est pas en vraie grandeur…).
Il dispose deux échelles [AC] et [BD], l’une contre l’autre, comme le montre la figure. Elles se "croisent" en un point M. Les points K, M et L sont alignés.

Notre bricoleur mesure 1,75 m et il se pose des questions :

	À quelle hauteur se croisent les deux échelles ? Peut-il passer sous les échelles sans se baisser ?
	S’il monte s’installer au point M, pourra-t-il atteindre le toit ? Ou, au contraire, sera-t-il obligé de s’accroupir ?
	S’il désire poser une cloison joignant les points K et L, quelle serait sa hauteur ?

1. En utilisant le théorème de Thalès dans le triangle ABD, montrer que : .
  (On pourra utiliser l’égalité suivante : DB = DM + MB.)
2. En utilisant une autre configuration, déterminer la valeur exacte du rapport .
3. En déduire la valeur de KM. Répondre à la première question du bricoleur.
Par un raisonnement analogue :
1. Montrer l’égalité : .
2. Déterminer le rapport .
3. En déduire la valeur de ML.
  Répondre aux autres questions.
Calculer les moyennes arithmétique, géométrique, harmonique et quadratique des nombres 3 et 4,5
(on donnera, si nécessaire, les valeurs arrondies au millième).
Parmi les quatre moyennes précédentes, quelle est celle qui donne la valeur exacte de la longueur KL ?

Généralisation : « base moyenne » d’un trapèze

Sur la figure ci-contre, ABCD est un trapèze de bases [AB] et [CD].
Les diagonales [AC] et [BD] se coupent en un point M.
La parallèle à (AB) passant par M coupe les côtés [AD] et [BC] respectivement en K et L.
On note :AB = a et CD = b.

Le but du problème est de calculer la longueur KL, uniquement en fonction de a et b.

En utilisant le théorème de Thalès dans le triangle ABD, montrer que : .
(On pourra utiliser l’égalité suivante : DB = DM + MB.)
Par un raisonnement analogue, montrer que : .
En utilisant une autre configuration, exprimer les rapports et en fonction de a et b.
Déduire des questions précédentes l’égalité : .
Montrer que le point M est le milieu du segment [KL], puis que la longueur KL est la moyenne harmonique des longueurs a et b.
À l’aide d’une « évidence géométrique », comparer la moyenne harmonique de deux nombre à chacun de ces nombres.
Quelle est la nature du trapèze lorsque a = b ?
Que devient la longueur KM dans ce cas-là ?
En déduire que la moyenne harmonique des deux nombres coïncide avec la moyenne arithmétique lorsque ces deux nombres sont égaux.

Note : du fait de la propriété établie dans la question 5, on peut qualifier le segment [KL] de « base moyenne » du trapèze.