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Les ensembles de Julia... bilan

mardi 6 janvier 2015

Le Bilan

Classe :
TS

Notions :

  • Nombres complexes,
  • Suites,
  • Algorithmique.

Objectifs pédagogiques :

  • Suites arithmétiques,
  • Limites des suites,
  • Raisonnement par récurrence,
  • Nombres complexes,
  • Gestion des nombres complexes dans un algorithme
  • (passage à la programmation sous Algobox) et avec un logiciel de géométrie dynamique,
  • Imbrication de boucles,
  • Conditions de sortie dans une boucle Tant que,
  • Utilisation d’instruction conditionnelle.

Organisation :
Alternance de séance en classe avec utilisation de TUICE, et de travail à la maison avec un suivi à l’aide d’un forum.

Programmation :

**Séance 1 (50 minutes) : Nombres complexes et Informatique

Objectifs :

  • Gestion de la représentation et du calcul des nombres complexes avec Algobox.
  • Calcul à l’aide d’Algobox des 15 premiers termes de la suite z(n+1)=z(n)2 où z0 est un nombre complexe donné.
  • Représentation de termes successifs d’une suite complexe à l’aide de Geogebra.
  • Conjecture concernant le caractère « borné » de la suite (zn).

**Travail suivi à la maison : Diversité des comportements

(pour ce travail un forum internet privé est mis en place afin de permettre aux élèves d’échanger sur la durée entre-eux et avec le professeur) :
Objectifs :

  • Justification de la conjecture émise en classe.
  • Adaptation du programme Algobox et du fichier Geogebra à la suite z(n+1)=z(n)²+c où c et z0 sont deux nombres complexes donnés tels que |c| < 1et sur la suite des modules associés.
  • Construction de l’algorithme de décision sur le caractère « borné » de (zn).

**Devoir à la maison (optionnel) : Démonstration

Objectifs :

  • Justification partiel de l’algorithme de décision (si un terme de la suite a une module supérieur ou égal à 2 alors la suite n’est pas « bornée »).

**Séance 2 (50 minutes) : Lignes de niveau

Objectifs :

  • Représentation des lignes de niveau d’une surface définie par une fonction de deux variables.
  • Pour la suite de ce travail, il s’agit de mettre en place l’idée de discrétisation du plan (réseau de points).

**Travail suivi à la maison : Représentation d’Ensembles de Julia remplis

Objectifs :

  • Représentation de l’ensemble de Julia pour trois valeurs de c donné en construisant un algorithme (programmation sous Algobox).
  • Recherche d’autres valeurs de c intéressantes et prise de conscience qu’il existe une grande variété de comportement.

Comptes rendu des séances

**Séance en classe n°1 : Nombres complexes et Informatique

Date :
30 septembre 2013
Déroulement :
La séance a lieu en demi-classe en TS dans une salle disposant d’un ordinateur par élève.
Après une explication de l’objectif de l’ensemble de l’activité, les élèves sont invités traiter l’exercice n°1 avant de passer sur machine pour l’exercice n°2.
Pour ceux qui ont du mal à traiter les deux premières questions de l’exercice n°1, une correction est projetée assez rapidement en cours de séance.
Tous les groupes sont passés à l’exercice n°2 en milieu de séance, mais certains rapides ou non ont oublié dans le 3ième cas de l’exercice n°1 de recourir à une variable auxiliaire comme pour le 2ième cas.
Ils feront la même erreur dans l’exercice n°2 où ils se corrigeront soit en se rendant compte qu’ils n’obtiennent pas les mêmes valeurs que les autres, soit par une intervention du professeur.
En fin de séance, plusieurs élèves arrivent seulement à la dernière question qu’ils ne traitent donc pas durant la séance.
Ils sont invités à terminer d’ici la prochaine séance (un bilan sera fait en classe entière).

**Bilan :

L’activité fonctionne mais elle est trop longue du fait que saisir un algorithme sous Algobox prend beaucoup de temps pour le élèves qui continuent de préférer le « mode normal » d’Algobox.
Avec le second groupe, même en guidant davantage les élèves dans l’exercice n°1, le problème de temps se pose toujours.

**Modification apportée :

Pour permettre à tous les élèves d’avoir le temps d’émettre une conjecture, l’énoncé a été modifié en proposant aux élèves un programme à compléter à la question 2 de l’exercice 2.
Il restera toujours possible de donner l’exercice n°1 en avance aux élèves pour gagner encore du temps.

**Travail à la Maison et Devoir à la maison :

Le travail testé a été modifié pour rendre optionnel la partie démonstration suite au retour de la réunion sur les TRAAM.
Déroulement :

Le travail à la maison a été donné aux élèves du 16 octobre au 7 novembre
(avec la mise en place d’un espace d’échange sur ce travail sur le forum internet propre au lycée).
Il comportait les questions 1 et 2 de la fiche « Diversité des comportements » et la question 1 de la fiche « Démonstration ».

Au total, une quinzaine d’échanges ont eu lieu sur le forum.
Aucun échange n’a concerné la question 1 de la fiche « Diversité des comportements » qui a été bien réussie par les élèves.

Concernant la question 2 de la fiche « Diversité des comportements », les échanges sur le forum ont porté sur la création dans Geogebra du nombre complexe c , puis sur la génération des dix premiers termes de la suite (zn).
Mais il a suffit de faire remarquer aux élèves qu’ils pouvaient utiliser la zone de saisie pour qu’ils avancent.
Ensuite, une question a été posée sur la différence qu’il y a entre initialisation et entrée.
La réponse a permis d’ancrer ces deux notions pour les élèves.

Pour le question 1 de la fiche « Démonstration », la seule question d’importance posée concernait la question c.iii. .
Il a fallu énoncer que le plus court chemin entre deux points était la ligne droite, pour régler le problème.
Cette partie n’a pas été traitée par tous les élèves, mais ceux qui l’ont traitée, ont rendu un travail satisfaisant.

**Bilan :

La modification qui rend optionnelle la partie « démonstration » permet de rendre plus abordable la fiche « diversité des comportements ».
La partie 3 de la fiche « diversité du comportement » et le fin du devoir à la maison seront traités en classe pour pouvoir tester le dernier travail à la maison.

**Séance en classe n°2 : Lignes de niveau

Date :
16 décembre 2013

Déroulement :

La séance a été testée sous une autre forme : travail au tableau interactif pour visualiser la surface et production collective de l’algorithme.
Une panne du réseau n’a pas permis la fin de la séance.
Par contre, les difficultés à comprendre l’imbrication des doubles boucles chez certains élèves a conduit à récrire l’activité en commençant par un algorithme où l’on peut visualiser le réseau de points (passage du continue au discret).
Une séance est programmée pour tester la nouvelle rédaction en 30 minutes l’activité étant donné que certaines idées concernant les lignes de niveau ont été comprises.

Éléments de synthèse qui émergent...

Quelles réflexions ont amené une évolution entre les différentes versions des activités ?

  • Obtenir une meilleure progressivité dans les difficultés,
  • Faire en sorte que chaque étape soit signifiante au regard du problème général que l’on cherche à résoudre.

En quoi est-ce un problème ouvert ?
Êtes vous en mesure de différencier un problème ouvert, d’une tâche complexe ?
Typologie des problèmes ouverts proposés ?
(par exemple recherche de toutes solutions discrètes avec un tableur ou un algorithme,....)

La question présentée oralement constitue un problème ouvert et non pas une tâche complexe car pour les élèves la résolution du problème ne se résume pas à mettre en œuvre plus savoir ou savoir-faire pour sa résolution.
Au contraire, il faudra imaginer une approche algorithmique pour approcher la réponse à la question.