Exercice n°4 : corrigé

1. Le diamètre de la table est m .
   On a donc .
   

2. Appelons O le centre de la table et r son rayon. Un cercle de centre O et de rayon r est susceptible de représenter le dessus de la table s’il passe par les nœuds du quadrillage de maille 0,5m.

Le premier cercle a donc comme rayon 0,5m, la table T₁ associée a 4 pieds, son coefficient de solidité est s₁ = 4/1= 4.

Le second cercle a comme rayon m, la table T₂ associée a 4 pieds, son coefficient de solidité est s₂ =.

3. Supposons que n = 12. Le coefficient de solidité est s = 12/d. Il est donc d’autant plus grand que d est petit. A chaque point M, on associe sur le quadrillage un triangle rectangle OHM où l’on peut supposer pour des raisons de symétrie, OH ³HM. Choisissons comme unité 0,5m, a=OH , b=HM sont des entiers naturels.

Pour obtenir une table à 12 pieds il faut trouver deux triplets distincts avec b₁=0 et a₂>b₂ ou 0<b₁<a₁ et b₂=a₂ .
doit être minimal. Les triplets possibles, ordonnés selon les valeurs croissantes de a sont :

La solution est donc la table de rayon 5 unités donc de diamètre 5m. Son coefficient de solidité est s = 2,4.

4. Avec les notations de 3., considérons une table de rayon c unités.
   De l’égalité c²=a²+b², on déduit que a < c lorsque c n’est pas entier et a £ c lorsque c est entier.
   Étudions les deux cas :
   

        On peut évidemment se poser la question de savoir s’il existe d’autres tables de coefficient 4. On sait déjà q’une telle table a un diamètre entier et on a :
a = c avec a-1 pieds par quart de cercle. Le triplet (a-1,1,a) est donc solution ce qui implique a²=(a-1)²+1 soit a = 1.
La seule table répondant à la question est donc la plus petite.

5. Avec les mêmes notations que dans la question 3, il existe nécessairement un couple (a,a) solution au problème.
   En effet il doit exister 3 pieds sur chaque quart de cercle ouvert. On doit donc avoir mètres entier ce qui impliquerait rationnel ce qui est exclu.