Exercice n°1 : corrigé
« Un problème de tas »

    On dispose de 7 objets que l’on répartit en autant de tas que l’on veut, chaque tas contenant autant d’objets que l’on veut. Une manipulation consiste à enlever un objet de chaque tas et à faire un nouveau tas des objets ainsi récupérés.

  1. En partant de la configuration (7) on obtient successivement :
     
Manipulations   1 2 3 4 5 6 7
Répartitions (7) (6,1) (5,2) (4,1,2) (3,1,3) (2,2,3) (1,1,2,3) (4,2,1)

    On déduit du tableau que la répartition (4,2,1) apparaîtra après 3 + 4n manipulations c'est-à-dire après 3, 7, 11, 15,… manipulations.
    Puisque 2007 = 3 + 4 x 501, la répartition (4,2,1) sera obtenue au bout de 2007 manipulations.
    Il en est de même pour les configurations (3,1,3), (2,2,3), (1,1,2,3)

    La résolution des deux questions suivantes est facilitée par une étude exhaustive des cas possibles :

Nombre initial de tas Répartitions Evolution après
    1 manip 2 manip 3 manip   2007 manip nb de répartitions initiales
7 (1,1,1,1,1,1,1) (7) (6,1) (5,2)   (2,1,1,3) 1
6 (2,1,1,1,1,1) (6,1) (5,2) (4,2,1)   (4,2,1) 1
5 (3,1,1,1,1) (5,2) (4,2,1) (3,1,3)   (3,1,3) 2
(2,2,1,1,1) (1,1,5) (4,3) (3,2,2)   (3,2,2)
4 (4,1,1,1) (4,3) (3,2,2) (2,1,1,3)   (2,1,1,3) 3
(3,2,1,1) (4,2,1) (3,1,3) (2,2,3)   (2,2,3)
(2,2,2,1) (1,1,1,4)  (4,3) (3,2,2)   (3,2,2)
3 (5,1,1) (4,3) (3,2,2) (2,1,1,3)   (2,1,1,3) 4
(4,2,1) (3,1,3) (2,2,3) (2,1,1,3)   (2,1,1,3)
(3,3,1) (2,2,3) (2,1,1,3) (4,2,1)   (4,2,1)
(3,2,2) (2,1,1,3) (4,2,1) (3,1,3)   (3,1,3)
2 (6,1) (5,2) (4,2,1) (3,1,3)   (3,1,3) 3
(5,2) (4,2,1) (3,1,3) (2,2,3)   (2,2,3)
(4,3) (3,2,2) (2,1,1,3) (4,2,1)   (4,2,1)
1 (7) (6,1) (5,2) (4,2,1)   (4,2,1) 1

 

  1. La répartition (4,1,2) est donc obtenue au bout de 2007 manipulations si la répartition initiale est :
    (2,1,1,1,1,1), (3,3,1), (4,3), (7)
     
  2. Virginie a vu la configuration (3,3,1).

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