On dispose de 7 objets que l’on répartit en autant de tas que l’on veut, chaque tas contenant autant d’objets que l’on veut. Une manipulation consiste à enlever un objet de chaque tas et à faire un nouveau tas des objets ainsi récupérés.
Manipulations | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | |
Répartitions | (7) | (6,1) | (5,2) | (4,1,2) | (3,1,3) | (2,2,3) | (1,1,2,3) | (4,2,1) |
On déduit du tableau que la répartition (4,2,1) apparaîtra
après 3 + 4n manipulations c'est-à-dire après 3, 7, 11, 15,… manipulations.
Puisque 2007 = 3 + 4 x 501, la répartition (4,2,1) sera
obtenue au bout de 2007 manipulations.
Il en est de même pour les configurations (3,1,3), (2,2,3),
(1,1,2,3)
La résolution des deux questions suivantes est facilitée par une étude exhaustive des cas possibles :
Nombre initial de tas | Répartitions | Evolution après | |||||
1 manip | 2 manip | 3 manip | 2007 manip | nb de répartitions initiales | |||
7 | (1,1,1,1,1,1,1) | (7) | (6,1) | (5,2) | (2,1,1,3) | 1 | |
6 | (2,1,1,1,1,1) | (6,1) | (5,2) | (4,2,1) | (4,2,1) | 1 | |
5 | (3,1,1,1,1) | (5,2) | (4,2,1) | (3,1,3) | (3,1,3) | 2 | |
(2,2,1,1,1) | (1,1,5) | (4,3) | (3,2,2) | (3,2,2) | |||
4 | (4,1,1,1) | (4,3) | (3,2,2) | (2,1,1,3) | (2,1,1,3) | 3 | |
(3,2,1,1) | (4,2,1) | (3,1,3) | (2,2,3) | (2,2,3) | |||
(2,2,2,1) | (1,1,1,4) | (4,3) | (3,2,2) | (3,2,2) | |||
3 | (5,1,1) | (4,3) | (3,2,2) | (2,1,1,3) | (2,1,1,3) | 4 | |
(4,2,1) | (3,1,3) | (2,2,3) | (2,1,1,3) | (2,1,1,3) | |||
(3,3,1) | (2,2,3) | (2,1,1,3) | (4,2,1) | (4,2,1) | |||
(3,2,2) | (2,1,1,3) | (4,2,1) | (3,1,3) | (3,1,3) | |||
2 | (6,1) | (5,2) | (4,2,1) | (3,1,3) | (3,1,3) | 3 | |
(5,2) | (4,2,1) | (3,1,3) | (2,2,3) | (2,2,3) | |||
(4,3) | (3,2,2) | (2,1,1,3) | (4,2,1) | (4,2,1) | |||
1 | (7) | (6,1) | (5,2) | (4,2,1) | (4,2,1) | 1 |
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