Comparaison d’aires

Etude de quelques figures clés

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Objectif, niveau et difficultés
 Il s’agit de quatre exercices pratiquement indépendants. Le premier est un véritable résultat de base, il est indispensable de le traiter en classe de 5ème. Le deuxième peut également être abordé à ce niveau, en admettant le résultat du premier. Le troisième exercice n’utilise que la forme donnant l’aire d’un triangle ; il est dû à Euclide, qui l’utilise abondamment dans d’autres démonstrations. Il peut également être présenté dès la 5ème. Le quatrième exercice, plus complexe, doit attendre la propriété de concours des médianes pour être abordé. Il est plutôt conseillé en classe de 4ème.

Aire et médiane d’un triangle

Sur la figure ci-contre, ABC est un triangle, I est le milieu du côté [BC].
On note h la hauteur du triangle, relative à la base [BC].
 
  1. Montrer que l’aire du triangle ABI est égale à .
  2. En déduire que les triangles ABI et AIC ont la même aire.
  3. Compléter la phrase :
    « Dans un triangle, une médiane partage ce triangle en . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ».

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Le fer de lance

Sur la figure ci-contre, ABC est un triangle, I est le milieu du côté [BC], M est un point quelconque du segment médian [AI].
 
  1. Comparer les aires des triangles ABI et ACI.
  2. Comparer les aires des triangles MBI et MCI.
  3. Conclure relativement aux aires des deux triangles hachurés.

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Le nœud pap’

Sur la figure ci-contre, ABCD est un trapèze de bases [AB] et [CD].
Ses diagonales se coupent en un point M.
 
  1. Comparer les aires des triangles ABD et ABC.
  2. Exprimer l’aire du triangle ABD comme somme des aires de deux autres triangles.
    Procéder de même avec l’aire du triangle ACD.
  3. Comparer alors les aires des deux triangles hachurés.

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L’ULM

Dans un triangle ABC, I, J, K, sont les milieux respectifs des côtés [BC], [CA] et [AB].
G est le centre de gravité.
On note, comme sur la figure, a, b, c, d, e, f les aires des six petits triangles délimités par les trois médianes.
Le but de cet exercice est de montrer que ces six aires sont égales.

1ère méthode

  1. En utilisant la partie A, comparer a et b, puis c et d, et enfin e et f.
  2. Démontrer que les droites (KB) et (BC) sont parallèles.
    En déduire, en utilisant la partie C, que b = d.
  3. Montrer, de même, que a = f.
  4. Conclure.

2ème méthode

  1. En utilisant la partie A, comparer a et b, puis c et d, et enfin e et f.
  2. En utilisant la partie B, comparer a + b et c + d.
    En déduire que a = b = c = d.
  3. Conclure.

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