Comparaison d’aires

Partage d’un quadrilatère

Objectif, niveau et difficultés
Ce problème envisage plusieurs propriétés d’un quadrilatère quelconque, avec les milieux des côtés. Deux d’entre elles concernent les aires, l’autre est le théorème de Varignon, qui est bien connu. Le niveau conseillé est celui de la classe de 4^ème.

Rappel :
dans un triangle, chaque médiane partage le triangle en deux triangles de même aire.

On considère la figure ci-contre, où ABCD est un quadrilatère quelconque,
I, J, K, L sont les milieux respectifs des segments [AB], [BC], [CD] et [DA].
Les « segments médians » [IK] et [JL] se coupent en O.

Une première égalité d’aires
1. Comparer les aires des triangles OAI et OIB, puis OBJ et OJC, puis OCK et OKD, et enfin ODL et OLA.
2. En déduire l’égalité :
  aire (OIAL) + aire (OJCK) = aire (OIBJ) + aire (OKDL)

Le théorème de Varignon
1. Démontrer que les droites (IL) et (BD) sont parallèles et que .
2. Quelle est la nature du quadrilatère IJKL ?
  Justifier la réponse.
  (Ce résultat est appelé « théorème de Varignon ».)
3. En déduire que O est le milieu de chacun des segments [IK] et [JL].
4. Montrer que les quatre triangles OIJ, OJK, OKL, OLI ont la même aire.
Une deuxième égalité d’aires
En utilisant les questions 1 et 2, démontrer l’égalité :
aire (AIL) + aire (CJK) = aire (BIJ) + aire (DKL)