Comparaison d’aires

Découpage d’un triangle (1)

Objectif, niveau et difficultés
Il s’agit d’établir une propriété classique du triangle en termes d’aire. Cette propriété est hélas méconnue en général des élèves du lycée ; elle est pourtant extrêmement simple, sa preuve n’utilise que les outils de la 5^ème. Cependant, la démonstration comporte une partie de calcul littéral qui fait que ce problème est plutôt recommandé en 4^ème ou en 3^ème.

Sur la figure ci-contre, ABC est un triangle, M est un point du côté [BC].
On note h la hauteur issue de A.

Question préliminaire
Montrer que l’aire du triangle AMB est égale à

, et que l’aire du triangle AMC est égale à

Deux cas particuliers

On suppose que M est le milieu de [BC].
Montrer que les triangles AMB et AMC ont la même aire.
On suppose que .
Montrer que l’aire du triangle AMB est le double de celle du triangle AMC.

Cas général : M est un point quelconque du segment [BC], distinct de B et C
Démontrer l’égalité :

Application

Sur la figure ci-contre, le segment [AB] a été découpé en trois parties égales, le segment [AC] en quatre parties égales.

Si l’aire du triangle AEI est égale à 1, que vaut l’aire :

	du triangle ABC ?
	du triangle AFK ?
	du triangle FKJ ?