Comparaison d’aires

Découpage d’un triangle (2)
Propriété caractéristique de la médiane

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Objectif, niveau et difficultés
Le but de ce problème est de caractériser la médiane d’un triangle en termes d’aire. Il n’utilise que des outils du collège (aire d’un triangle et calcul fractionnaire). Il est cependant difficile, notamment parce qu’il utilise le calcul littéral, et fait intervenir certains quotients. Il peut être abordé en 3ème (en devoir à la maison) pour les bons élèves, ou en 2nde.

Question préliminaire

On considère deux fractions égales et , avec .

  1. Cas particulier avec et .
    Vérifier que l’on a : .
     
  2. Cas général : on pose .
    Vérifier l’égalité .
    En déduire que .

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Problème

On considère la figure ci-contre, où M est un point intérieur au triangle ABC.
La droite (AM) coupe le segment [BC] en U.
    1. On note h la hauteur issue de A dans le triangle ABC.
      Exprimer l’aire du triangle ABU et du triangle ACU en fonction de h et des longueurs BU et CU.
       
    2. En déduire une expression du quotient à l’aide des longueurs BU et CU.
       
  2. Procéder de même pour obtenir une expression du quotient à l’aide des longueurs BU et CU.
     
  3. Démontrer à l’aide de la question préliminaire l’égalité : .
     
  4. Propriété caractéristique de la médiane
    1. On suppose dans cette question que M appartient à la médiane issue de A.
      Quelle est alors la position du point U sur le segment [BC] ?
      En déduire que : aire(AMB) = aire(AMC).
       
    2. Réciproque
      On suppose dans cette question que : aire(AMB) = aire(AMC).
      Démontrer que M appartient à la médiane issue de A.

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