Comparaison d’aires

Le théorème du pied de la bissectrice

Objectif, niveau et difficultés
Ce problème assez technique est envisageable en 3^ème, il est plutôt recommandé en classe de 2^nde. Les outils utilisés sont pourtant modestes : ils se limitent à la formule donnant l’aire d’un triangle et à quelques éléments de calcul littéral. Le résultat est un classique de la géométrie, qui offre de nombreuses applications. L’une d’entre elles est proposée dans la question 4.

Sur la figure ci-contre, ABC est un triangle, la droite (AU) est la bissectrice issue de A dans le triangle.
On note h la hauteur du triangle, relative à la base [BC].

Une première égalité
On note h la hauteur du triangle issue du sommet A.
1. Montrer que l’aire du triangle AUB est égale à ,
  et que l’aire du triangle AUC est égale à .
2. Démontrer l’égalité : .
Une deuxième égalité
1. Justifier le fait que le point U est situé à la même distance des droites (AB) et (AC).
  On note d cette distance commune.
2. Montrer que l’aire du triangle AUB est égale à ,
  et que l’aire du triangle AUC est égale à .
3. Démontrer l’égalité : .
Déduire des questions précédentes que : .
Application :
ABC est un triangle rectangle et isocèle en B tel que BC = 1.
La bissectrice issue de A coupe le côté [BC] en U.
Démontrer que .