Les aires : un outil pour la géométrie

Triangle : aire, périmètre et rayon du cercle inscrit

Objectif, niveau et difficultés
Ce problème établit une relation classique dans le triangle, avec quelques applications. La généralisation proposée en B peut s’étendre à un polygone quelconque admettant un cercle inscrit. Il peut être posé en 5^ème (avec des valeurs numériques), en 4^ème, 3^ème et 2^nde avec les valeurs littérales.

Le cas d’un triangle

Le résultat
ABC est un triangle.
On note S son aire, p son demi-périmètre, et r le rayon de son cercle inscrit.
L’objectif est de trouver une relation entre S, p et r.
1. Construire un triangle quelconque ABC, puis son cercle inscrit dont on notera I le centre.
2. Exprimer en fonction de r, et des longueurs AB, AC et BC, les aires des triangles AIB, AIC et BIC.
3. Démontrer alors l’égalité : S = p x r.
Applications (niveau 3^ème, 2^nde)
1. Soit ABC un triangle isocèle et rectangle en A, tel que AB = 2.
  Démontrer que le rayon du cercle inscrit à ce triangle est égal à .
2. Soit ABC un triangle rectangle en A tel que AB = 4 et AC = 3.
  Montrer que le rayon de son cercle inscrit est un nombre rationnel.

Le cas d’un quadrilatère

Condition d’existence du cercle inscrit
On dit qu’un quadrilatère ABCD admet un cercle inscrit s’il existe un cercle tangent à chacun des quatre côtés du quadrilatère.
1. Montrer que la condition précédente est réalisée si et seulement si les quatre bissectrices du quadrilatère sont concourantes.
2. Montrer qu’un losange admet un cercle inscrit.
3. Donner un exemple de quadrilatère qui n’admet pas de cercle inscrit.
Généralisation de la propriété
Soit ABCD un quadrilatère qui admet un cercle inscrit.
On note comme précédemment r le rayon de ce cercle, S l’aire du quadrilatère, p son demi-périmètre.
Démontrer à nouveau l’égalité : S = p x r.