Les aires : un outil pour la géométrie

Triangles ayant deux hauteurs de même longueur

Objectif, niveau et difficultés
On connaît déjà plusieurs caractérisations d’un triangle isocèle : par les longueurs des côtés, par les mesures des angles, par la confusion de deux droites remarquables, ….. Ce problème en établit une autre : par l’égalité des longueurs de deux des hauteurs. Il peut être posé en 5^ème (avec de l’aide), en 4^ème ou en 3^ème.

Problème
Le but de ce problème est de déterminer la nature d’un triangle ABC ayant deux hauteurs [BH] et [CK] de même longueur.

Réalisation d’une figure

Exécuter le programme de construction suivant :

	tracer un segment [BH], puis la droite perpendiculaire en H à la droite (BH) ;
	placer sur cette droite un point C distinct de H ;
	tracer le cercle de centre C et de rayon BH, puis le cercle de diamètre [BC] ; nommer K l’intersection des deux cercles qui se trouve du même côté que H par rapport à la droite (BC) ;
	nommer A le point d’intersection des droites (CH) et (BK).

Prouver que sur la figure précédente, on a bien BH = CK, et que les droites (BH) et (CK) sont bien les hauteurs du triangles ABC issues de B et C.

Conjecture
Emettre une conjecture sur la nature du triangle ABC.

Démonstration
On pose h = BH = CK; c’est la longueur commune des hauteurs issues de B et de C.

Exprimer de deux façons différentes l’aire du triangle ABC en fonction de h, d’abord en prenant pour base [AC], puis en prenant pour base [AB].
En déduire une égalité qui permettra de conclure sur la nature du triangle ABC.