Les aires : un outil pour la géométrie

Une propriété du triangle équilatéral

Objectif, niveau et difficultés
Ce problème dont le résultat est surprenant, n’utilise que le rappel comme outil. Il peut être abordé en 5^ème (en devoir à la maison, ou sous la forme d’une énigme). Bien entendu, il ne déparerait pas en 4^ème ou en 3^ème.

Lire le problème ci-dessous, puis répondre aux questions.

Problème
Un agriculteur possède un champ ayant la forme d’un triangle équilatéral.
Il désire creuser un puits à l’intérieur de celui-ci pour irriguer, à l’aide de tuyaux, les bords de son terrain.
Il veut utiliser le minimum de tuyaux.

Doit-il privilégier un emplacement plutôt qu’un autre pour creuser son puits ?
Si oui, lequel ?

Questions

Pour répondre à ces questions, on considère un triangle équilatéral ABC et un point M intérieur à ce triangle.
On note H, K et L les pieds des hauteurs issues de M respectivement des triangles BCM, ACM et ABM.
On désigne par h la hauteur du triangle ABC.

Faire une figure.
En exprimant de deux façons l’aire du triangle ABC, montrer que : MH + MK + ML = h.
Aidez cet agriculteur à faire son choix…