Les aires : un outil pour la géométrie

Un alignement dans le trapèze

Objectif, niveau et difficultés
Il s’agit de prouver, dans un trapèze qui n’est pas un parallélogramme, l’alignement classique de quatre points : les milieux des bases, les points d’intersection des diagonales et des côtés non parallèles. Le résultat admis n’étant pas si simple, ce problème est conseillé en classe de 2^nde ou de 1^ère S. D’autres démonstrations sont intéressantes (Thalès, les homothéties, la géométrie analytique, …).

Résultat admis

Soit M un point intérieur à un triangle ABC.
Alors :

	si M appartient à la médiane issue de A, alors aire(AMD) = aire(AMC);
	réciproquement, si aire(AMD) = aire(AMC), alors M appartient à la médiane issue de A.

Problème

On considère un trapèze ABCD de bases [AB] et [DC], qui n’est pas un parallélogramme.
I et J sont les milieux respectifs des bases [AB] et [DC].
On suppose que AB < CD.

Les côtés non parallèles (AD) et (BC) se coupent en O,
les diagonales (AC) et (BD) se coupent en U.

Alignement de O, I, J
1. Comparer les aires des triangles OIA et OIB.
2. Comparer les aires des triangles DIA et CIB.
3. Comparer alors les aires des triangles OID et OIC.
4. En déduire que les points O, I, J sont alignés.
Alignement de I, U , J
On note A’, I’ et B’ les symétriques de A, I et B par rapport à U.
1. Démontrer que B’A’CD est un trapèze et que I’ est le milieu de [A’B’].
2. En déduire, en utilisant la question 1, que U, I’, J sont alignés.
3. Prouver alors que I, U, J sont alignés.
Conclusion
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