Les aires : un outil pour la géométrie

Une condition analytique d’alignement

Objectif, niveau et difficultés
Il s’agit d’établir de façon originale, en utilisant les aires, la classique condition d’alignement de trois points. Bien entendu, cette démonstration s’adapte à la condition de colinéarité de deux vecteurs, souvent admise. La présence du calcul littéral ainsi que la problématique de l’alignement placent ce problème au niveau de la classe de 2^nde.

Dans un repère d’origine O, supposé orthonormal, on considère les points :
A(a , a') et B(b , b').
Le but de ce problème est d’obtenir une condition portant sur a, a’, b, b’ pour exprimer que les trois points O, A, B sont alignés.

On supposera pour fixer les idées que a ≤ b et a' ≤ b'.
Dans tous les autres cas, on pourra adapter sans difficulté la méthode décrite dans le questionnement.

Les parallèles à (Oy) menées de A et B rencontrent l’axe (Ox) respectivement en H et K.

Expliquer pourquoi la condition « O, A, B sont alignés »
équivaut à la condition « le triangle OAB a une aire égale à 0 ».
Justifier l’égalité :
aire(OAB) = aire(OBK) - aire(OAH) - aire(ABKH).
Exprimer l’aire du triangle OBK en fonction de b et b’.
Exprimer l’aire du triangle OAH en fonction de a et a’.
Quelle est la nature du quadrilatère ABKH ?
En déduire que : .
Démontrer alors que : .
En déduire une condition d’alignement des trois points O, A, B.