Utilisation d’axes de symétrie
Avec un cercle et trois tangentes (1)
Objectif, niveau et difficultés
Il s’agit ici d’utiliser le résultat relatif à un cercle et deux
tangentes, et ce à plusieurs reprises. On obtient une propriété métrique
intéressante. Le niveau conseillé est celui de la 5ème ou de la 4ème.
La partie A est expérimentale ; il est conseillé d’utiliser un logiciel de
géométrie dynamique. |
Dans ce problème, on considère la figure suivante, dans laquelle les droites
(AB), (BC) et (CA) sont tangentes au cercle (c), de centre O. On note P, Q, R
les points de contacts respectifs de ces droites avec le cercle.
Construction et expérimentation à l’aide d’un logiciel de géométrie
- Construction de la figure
Créer un point libre O et créer le cercle c de centre O et de rayon 3 cm.
Créer un point libre A et tracer le cercle c’ de diamètre [OA].
Ce cercle coupe le cercle c en deux points R et Q.
Créer les segments [AR], [AQ], [OR] et [OQ].
Que peut-on dire des droites (AR) et (AQ) ?
Créer un point libre P sur le cercle c et placer P sur l’arc de cercle
intérieur au triangle ARQ.
Créer la droite (d) passant par P et perpendiculaire à (OP).
Que peut-on dire de cette droite ?
Créer les points B et C intersection de la droite (d) et des droites (AR)
et (AQ).
Créer le segment [BC] puis effacer la droite (d) et le cercle c’.
Affichage des longueurs
Afficher les longueurs des segments [BR] et [BP], puis [CQ] et [CP] et
enfin [AR] et [AQ].
On note p le périmètre du triangle ABC.
Créer p puis afficher p.
Conjecture
Déplacer le point P entre R et Q.
Observer en même temps les longueurs des segments affichées dans la question
2.
Quelles conjectures peut-on émettre sur les longueurs des segments ? sur le
périmètre p ?
On peut faire varier les points O et A pour conforter la solidité de cette
conjecture.
Résolution mathématique
Dans cette partie, on va démontrer les conjectures émises en A-3.
- Démontrer les égalités AR = AQ, puis BP = BR et enfin CQ = CP.
(On pourra utiliser le fait que la figure formée par un cercle et deux
tangentes admet un axe de symétrie.)
- On suppose que AR = 6.
En déduire la valeur du périmètre p du triangle ABC.