Utilisation d’axes de symétrie

Avec un cercle et deux tangentes

Objectif, niveau et difficultés
Comme pour le problème précédent, l’objectif est d’étudier une configuration clé : celle formée d’un cercle et de deux tangentes. On va établir que cette configuration admet un axe de symétrie, ce qui sera utilisé et exploité dans plusieurs autres problèmes (voir les problèmes 3, 4, 5 de ce thème). Deux méthodes sont proposées : le théorème de Pythagore, et les propriétés de conservation des symétries axiales parties 2 et 3). Tout cela est évidemment lié puisque le théorème de Pythagore est lui-même démontré à partir de certaines propriétés de conservation de ces symétries. Le niveau requis est celui de la 4^ème ou de la 3^ème.

Construction des tangentes

On considère un cercle (c) de centre O.
Soit I un point extérieur à (c).
On considère le cercle (Г) de diamètre [OI].
Le cercle (Г) coupe le cercle (c) en deux points A et B.

Quelle est la nature des triangles OAI et OBI ?
Justifier la réponse.
Que représentent les droites (IA) et (IB) pour le cercle (c) ?

Info : cette construction est due à Euclide.

Avec le théorème de Pythagore

1. Ecrire la relation de Pythagore dans chacun des deux triangles AOI et BOI.
2. En déduire que IA = IB.
Que représente la droite (OI) pour le segment [AB] ?
En déduire que la droite (OI) est un axe de symétrie de la figure.

Avec les propriétés de la symétrie axiale

Par la symétrie axiale d’axe (OI), quelle est l’image du cercle (c) ?
Quelle est l’image du cercle (Г) par cette même symétrie ?
En déduire l’image de A par cette symétrie.
Retrouver alors le résultat de la deuxième partie, question 2.

Une propriété métrique

La droite (OI) coupe le cercle (c) en M et N, avec IM < IN.

Placer les points M et N sur la figure.
Justifier les égalités : IM = IO - OA et IN = IO + OA.
En déduire que IM x IN = IA².
Application : si (c) est un cercle de rayon 2 cm, et si OI = 5 cm, calculer la valeur exacte de IA.