Utilisation d’axes de symétrie

Le triangle mystérieux

Objectif, niveau et difficultés
Dans la configuration formée par une droite tangente à deux cercles tangents, le triangle formé par les trois points de contact a une propriété particulière, qui est à l’étude dans ce problème. Deux méthodes différentes sont proposées, utilisant des outils élémentaires. Il peut être abordé en 4^ème, 3^ème ou 2^nde.

Dans la figure suivante, les deux cercles, de centres O et O’, sont tangents extérieurement en I, la droite (AB) est tangente aux deux cercles respectivement en A et B.
Le but de ce problème est d’étudier le triangle IAB par deux méthodes différentes.

Avec les axes de symétrie

Tracer la tangente commune au deux cercles en I.
Cette droite coupe la droite (AB) en J.
Comparer les longueurs JA, JI et JB.
(On pourra utiliser le résultat suivant : « La figure formé par un cercle et deux de ses tangentes issues d’un même point admet un axe de symétrie ».)
Conclure sur la nature du triangle AIB.

Avec les angles

On note .

Exprimer la mesure de l’angle en fonction de a.
Pourquoi peut-on affirmer que les triangles OAI et O’BI sont isocèles ?
En déduire une expression des angles à la base de chacun de ces deux triangles en fonction de a.
Exprimer enfin en fonction de a, et conclure sur la nature du triangle AIB.