Utilisation d’axes de symétrie

L’énigme de la couronne

Objectif, niveau et difficultés
En forme d’énigme, ce problème est un réinvestissement du résultat démontré dans le problème 1 : « la figure formée par un cercle et une corde admet un axe de symétrie ». Il peut être abordé en 4^ème ou en 3^ème.

Enigme
Sur la figure ci-contre, les deux cercles c₁ et c₂ ont le même centre O.
La droite (AB) est tangente en I au cercle c₁.

On donne AB = 4 cm.

Calculer l’aire de la couronne.

Indications
On note r₁ et r₂ les rayons des cercles, avec r₁< r₂.

Exprimer l’aire de la couronne en fonction de r₁ et r₂
Montrer que la droite (OI) est la médiatrice du segment [AB].
En déduire la longueur AI
Calculer r₂² - r₁²En déduire l’aire de la couronne.