Qu’est-ce qu’une moyenne ?

Moyenne arithmétique et moyenne harmonique

Objectif, niveau et difficultés
Il s’agit de revisiter rapidement la notion de moyenne arithmétique, qui doit être la seule connue a priori en début de collège, mais aussi de montrer que ce n’est pas la seule. Le questionnement permet de découvrir la notion de moyenne harmonique à travers une situation simple. Ce sujet peut être abordé dès la fin de la classe de 5^ème et ne nécessite que très peu de prérequis. Il est sûrement mieux adapté au niveau de la 4^ème, notamment avec la manipulation des inverses en fin de sujet. Le calcul des différentes moyennes peut servir de prétexte à une initiation au maniement d’un tableur.

Première partie : moyenne de notes

Un élève a obtenu deux notes : 9 et 14.
Quelle est la moyenne de ces deux notes ?
Un élève a eu cinq notes : 5 ; 8 ; 10 ; 20 ; 14.
Quelle est la moyenne de ces cinq notes ?

Vocabulaire : ce type de moyenne est appelé « moyenne arithmétique ».
La moyenne arithmétique de deux nombres a et b est le nombre m vérifiant l’égalité :

À retenir : pour calculer la moyenne arithmétique de plusieurs valeurs :

	on ajoute toutes ces valeurs ;
	on divise la somme obtenue par le nombre de valeurs.

Un élève a obtenu au premier trimestre cinq notes en mathématiques : 7 ; 12 ; 9 ; 7 ; 11.
Une sixième note est prévue.
1. Quelle doit être cette sixième note pour que la moyenne soit égale à 10 ? à 11 ?
2. L’élève peut-il espérer avec ses six notes obtenir une moyenne égale à 12 ?

Deuxième partie : vitesse moyenne

    Julien, qui habite Beaune, décide d’aller à Chagny à pied. 16 km séparent les deux villes. Julien couvre la distance à la vitesse moyenne de 4 km/h.
    Pour revenir à Beaune, il emprunte le vélo de son ami chagnotin.
    Il effectue alors le retour à Beaune à la vitesse moyenne de 16 km/h.

Quelle est la distance aller-retour parcourue par Julien ?
Quelle est la durée totale du trajet aller-retour ?
En déduire la vitesse moyenne de Julien sur l’aller-retour ?
La vitesse moyenne est-elle la moyenne arithmétique des deux vitesses ?
Vérifier l’égalité : .

Vocabulaire : on dit que le nombre 6,4 est la moyenne harmonique des nombres 16 et 4.
La moyenne harmonique de deux nombres non nuls a et b est le nombre h vérifiant l’égalité :

À retenir : pour calculer la moyenne harmonique de deux nombres non nuls :

	on calcule les inverses de ces deux nombres ;
	on calcule la moyenne arithmétique de ces deux inverses ;
	on prend l’inverse du résultat obtenu.

Troisième partie : calculons ces deux moyennes

Recopier et compléter le tableau suivant où m et h désignent respectivement la moyenne arithmétique et la moyenne harmonique des deux nombres a et b.

a	b	m	h
4	12			cas n°1
10	2,5			cas n°2
	15	45		cas n°3
12			8	cas n°4

Détailler tous les calculs en dehors du tableau.