Découvrons quatre différentes moyennes

Première partie : moyenne de notes

Deuxième partie : vitesse moyenne

Troisième partie : notion de plaque moyenne

Quatrième partie : quadrature d’un rectangle

Cinquième partie : calculons ces quatre moyennes

Qu’est-ce qu’une moyenne ?

Objectif, niveau et difficultés
L’objectif est analogue à celui du problème précédent : la découverte de quatre types de moyennes articule le questionnement, au travers de quatre situations d’usage courant. Le niveau indiqué est celui de la 3^ème ou de la 2^nde ; le sujet peut constituer un bon entraînement au maniement des radicaux, qui interviennent ici en situation dans un contexte non artificiel. Ici encore, l’utilisation d’un tableur est particulièrement indiquée dans la 5^ème partie.

Un élève a obtenu deux notes : 9 et 14.
Quelle est la moyenne de ces deux notes ?
Un élève a eu cinq notes : 5 ; 8 ; 10 ; 20 ; 14.
Quelle est la moyenne de ces cinq notes ?
Un élève a obtenu n notes : x₁ ; x₂ ; x₃ ; …… ; x_n.
On note m la moyenne de ces n notes.
Exprimer la moyenne m de ces n notes à l’aide des nombres n, x₁ ; x₂ ; x₃ ; …… ; x_n.

Vocabulaire : ce type de moyenne est appelé « moyenne arithmétique ». La moyenne arithmétique de deux nombres a et b est le nombre m vérifiant l’égalité :

À retenir : pour calculer la moyenne arithmétique de plusieurs valeurs :

	on ajoute toutes ces valeurs ;
	on divise la somme obtenue par le nombre de valeurs.

Un élève a obtenu au premier trimestre cinq notes en mathématiques : 7 ; 12 ; 9 ; 7 ; 11.
Une sixième note est prévue.
1. Quelle doit être cette sixième note pour que la moyenne soit égale à 10 ? à 11 ?
2. L’élève peut-il espérer avec ses six notes obtenir une moyenne égale à 12 ?

Julien, qui habite Beaune, décide d’aller à Chagny à pied. 16 km séparent les deux villes. Julien couvre la distance à la vitesse moyenne de 4 km/h.
Pour revenir à Beaune, il emprunte le vélo de son ami chagnotin. Il effectue alors le retour à Beaune à la vitesse moyenne de 16 km/h.

Quelle est la distance aller-retour parcourue par Julien ?
Quelle est la durée totale du trajet aller-retour ?
En déduire la vitesse moyenne de Julien sur l’aller-retour ?
La vitesse moyenne est-elle la moyenne arithmétique des deux vitesses ?
Vérifier l’égalité :

Vocabulaire : on dit que le nombre 6,4 est la moyenne harmonique des nombres 16 et 4.
La moyenne harmonique de deux nombres non nuls a et b est le nombre h vérifiant l’égalité :

À retenir : pour calculer la moyenne harmonique de deux nombres non nuls :

	on calcule les inverses de ces deux nombres ;
	on calcule la moyenne arithmétique de ces deux inverses ;
	on prend l’inverse du résultat obtenu.

On possède deux plaques métalliques de formes cylindriques, de même épaisseur e, mais de rayons différents :
R₁ = 18 et R₂= 24 (en cm). (Figure ci-après.)

Nous souhaitons fondre ces deux plaques pour en fabriquer deux autres, de même épaisseur e, et de même rayon R :

On rappelle que le volume d’une cylindre s’exprime par la relation : V = aire de base x hauteur.

Calculer le volume total de métal utilisé dans les deux premiers jetons.
(Exprimer ce nombre en fonction de π.)
Exprimer en fonction de R et de π la somme des volumes des deux jetons transformés.
En déduire que le rayon R des jetons transformés ne dépend pas de l’épaisseur e, et calculer R.
Peut-on dire que R est la moyenne arithmétique des nombres 18 et 24 ?
Vérifier l’égalité : .

Vocabulaire : on dit que le nombre R est la moyenne quadratique des nombres 18 et 24.
La moyenne quadratique de deux nombres non nuls a et b est le nombre q vérifiant l’égalité :

À retenir : pour calculer la moyenne quadratique de deux nombres non nuls :

	on calcule la moyenne arithmétique de leurs carrés ;
	on prend la racine carrée du résultat obtenu.

On considère un rectangle de dimensions 5 cm et 9,8 cm.

Quelle est, en cm², l’aire de ce rectangle ?
On veut construire un carré qui a la même aire que ce rectangle.
Calculer la longueur c du côté de ce carré.
Le nombre c est-il la moyenne arithmétique des nombres 5 et 9,8 ?

Vocabulaire : on dit que le nombre c est la moyenne géométrique des nombres 5 et 9,8.
La moyenne géométrique de deux nombres non nuls a et b est le nombre g vérifiant l’égalité :

À retenir : pour calculer la moyenne géométrique de deux nombres non nuls :

	on calcule leur produit ;
	on prend la racine carrée du résultat obtenu.

cas n°1

cas n°2

cas n°3

cas n°4

cas n°5

Reproduire et compléter le tableau suivant en utilisant les définitions des moyennes m, g, h et q données dans les encadrés précédents.
Détailler les calculs « hors tableau » ou utiliser un tableur.