Les moyennes : à quoi ça sert ?

Pourcentages et moyenne géométrique

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Objectif, niveau et difficultés
Il s’agit ici d’étudier une situation relativement riche, quoiqu’assez complexe, et l’objectif est double. On introduit tout d’abord la notion de coefficient multiplicateur en liaison avec un pourcentage d’évolution (augmentation ou diminution) et, d’autre part, on met en scène la notion de pourcentage moyen d’évolution sur deux périodes consécutives ; c’est là qu’intervient un autre type de moyenne : la moyenne géométrique. Ce sujet peut être abordé dès la 3ème, avec prudence ; il est particulièrement indiqué en 2nde et s’inscrit parfaitement dans les programmes de 1ère ES ou de 1ère STG.

Partie A – Augmenter, diminuer en pourcentage

  1. Un produit coûte 250 €, son prix augmente de 30 %.
    1. Quel sera le prix A de ce produit après l’augmentation ?
    2. Justifier l’égalité : .
  2. Le prix d’un produit est D euros, et ce prix augmente de 30 %.
    Justifier que le nouveau prix A de ce produit est donné par l’égalité :
    .
  3. Le prix d’un produit est D euros, et ce prix augmente de t %.
    Justifier que le nouveau prix A de ce produit est donné par l’égalité :
    .
     
À retenir : Augmenter un nombre de t % revient donc à le multiplier par le coefficient multiplicateur :

.

 

  1. Quel est le coefficient multiplicateur associé à une baisse de 15 % ?
     
  2. Quel est le coefficient multiplicateur associé à une baisse de t % ?

 

À retenir : Diminuer un nombre de t % revient donc à le multiplier par le coefficient multiplicateur :

.

 

  1. Compléter les phrases suivantes :
    1. « Multiplier un nombre par 1,05, c’est augmenter ce nombre de …. % ».
    2. « Multiplier un nombre par 2 revient à augmenter ce nombre de …. % ».
    3. « Multiplier un nombre par 0,4, c’est diminuer ce nombre de …. % ».
    4. « Multiplier un nombre par 0,03 revient à diminuer ce nombre de …. % ».

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Partie B – Coefficient moyen annuel

Définition - Si a et b sont deux nombres strictement positifs :
bulletla moyenne arithmétique des nombres a et b est le nombre : ;
bulletla moyenne géométrique des nombres a et b est le nombre : .

Le prix d’un produit était de 300 € le 01/01/2006.

  1. Durant l’année 2006, le prix de ce produit subit une augmentation de 21 %.
    Quel est le nouveau prix A de ce produit le 31/12/2006 ?
     
  2. Durant l’année 2007, le prix de ce produit subit une nouvelle augmentation de 44 %.
    Quel est le nouveau prix B de ce produit le 31/12/2007 ?
     
  3. Julien affirme : « Puisque 21 + 44 = 65,
    j’en déduis qu’entre le 01/01/2006 et le 31/12/2007, le prix a subi une augmentation globale de 65 %. »

    Margaux réplique : « Il ne faut pas raisonner sur les taux d’évolution mais sur les coefficients multiplicateurs ;
    le prix a été multiplié au total par 1,21 x 1,44 , c’est-à dire 1,7424.
    Il a donc augmenté de 74,24 %. ».
    Lequel des deux a raison ? Justifier votre réponse.
     
  4. On appelle taux moyen annuel d’évolution le nombre t tel que deux hausses successives de t % sont équivalentes à la hausse globale sur les deux années.
    1. Sur l’exemple précédent, vérifier que la hausse globale du prix sur les deux années correspond à deux hausses successives de 32 %.
    2. Le taux moyen annuel est-il égal à la moyenne arithmétique des deux taux ?
       
  5. Le coefficient multiplicateur annuel moyen est donc égal à 1,32.
    Vérifier que ce coefficient est égal à la moyenne géométrique des coefficients multiplicateurs 1,21 et 1,44.

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