Comparaison des différentes moyennes

Comparaison de quelques moyennes de n nombres

Objectif, niveau et difficultés
Ce problème est plutôt réservé à la classe de Terminale S. Il montre que la question des moyennes est généralisable, et en particulier la comparaison de ces moyennes. Le cas de l’égalité est également envisagé. La question 2, plus difficile sans doute à cause du symbolisme, peut être édulcorée en s’en tenant à quelques valeurs particulières de l’entier n.

Définition - Si

sont n nombres strictement positifs (n ≥ 2) :

	la moyenne arithmétique des nombres est le nombre : ;
	la moyenne géométrique des nombres est le nombre : ;
	la moyenne quadratique des nombres est le nombre : ;
	la moyenne harmonique des nombres est le nombre : .

Le but de ce problème est de comparer ces différentes moyennes.

Calculer ces différentes moyennes dans le cas où n = 3, a₁ = 4, a₂ = 10 et a₃ = 25.
Comparaison de q et m
1. Etant donné n nombres strictement positifs (n ≥ 1),
  démontrer l’égalité : .
  (À défaut d’une démonstration complète, on pourra se contenter de démontrer le résultat pour n = 2, pour n = 3 et éventuellement n = 4.)
2. En déduire que m ≤ q.
3. Dans quel cas a-t-on l’égalité m = q ?
Comparaison de m et g
1. Montrer que, pour tout x > 0, on a : ln x ≤ x - 1.
2. En appliquant l’inégalité précédente successivement pour les nombres , , …, montrer que g ≤ m.
3. Dans quel cas a-t-on l’égalité g = m ?
Comparaison de g et h
1. En appliquant l’inégalité g ≤ m aux nombres , comparer g et h.
2. Dans quel cas a-t-on l’égalité g = h ?