Comparaison algébrique

Approche numérique et conjectures

Démonstrations

Comparaison des différentes moyennes

Objectif, niveau et difficultés
Ce problème assez technique est particulièrement recommandé en classe de 2^nde, où l’on étudie en détail les problèmes de comparaison. Les outils principalement utilisés sont le théorème de rangement des carrés et les produits remarquables. En collège, on peut s’en tenir à l’aspect numérique et aux conjectures (partie A).

Définition - Si a et b sont deux nombres strictement positifs :

	la moyenne arithmétique des nombres a et b est le nombre : ;
	la moyenne géométrique des nombres a et b est le nombre : ;
	la moyenne quadratique des nombres a et b est le nombre : ;
	la moyenne harmonique des nombres a et b est le nombre : .

Reproduire et compléter le tableau suivant en utilisant les définitions des moyennes m, g, h et q données dans les encadrés précédents.
Détailler les calculs « hors tableau » ou utiliser un tableur.

Que peut-on conjecturer concernant le rangement des six nombres : a ; b ; m ; g ; h ; q.

cas n°1

cas n°2

cas n°3

cas n°4

cas n°5

On se place dans le cas où : 0 < a < b.

1. Exprimer b² - q² en fonction de a et b ; en déduire le signe de b² - q².
2. Comparer alors b et q.
1. Exprimer q² - m²en fonction de a et b, et mettre l’expression sous forme factorisée.
2. Comparer alors q et m.
En déterminant comme précédemment le signe de m² - g²,
comparer m et g.
1. Prouver l’égalité : .
2. Comparer alors g et h.
Exprimer h - a en fonction de a et b, puis comparer h et a.
Conclure en rangeant dans l’ordre croissant les six nombres a, b, m, g, h et q.