Comparaison des différentes moyennes

Comparaison géométrique

Objectif, niveau et difficultés
Ce problème reprend et approfondit le problème 11, en utilisant pleinement certaines propriétés élémentaires de la configuration étudiée pour comparer les différentes moyennes. Il peut être abordé en 3^ème, avec certaines aides, ou en classe de 2^nde. La comparaison des différentes moyennes aux nombres a et b est d’un abord plus délicat à l’aide de cette configuration ; il vaut mieux l’envisager de façon algébrique, ce qui sera proposé dans le problème suivant.

Définition - Si a et b sont deux nombres strictement positifs :

	la moyenne arithmétique des nombres a et b est le nombre : ;
	la moyenne géométrique des nombres a et b est le nombre : ;
	la moyenne quadratique des nombres a et b est le nombre : ;
	la moyenne harmonique des nombres a et b est le nombre : .

L’objectif de ce problème est de visualiser ces moyennes à l’aide de la représentation g

Faire une figure de belle taille d’après la description suivante :
« Soit [AB] un segment quelconque de milieu O.
Tracer un demi-cercle ( Γ ) de diamètre [AB].
On considère H un point quelconque du segment [OA], distinct de O et de A.
La perpendiculaire en H à la droite (AB) coupe le demi-cercle ( Γ ) en M. »
Cette figure sera complétée au fur et à mesure.

On pose : AH = a et HB = b (avec a < b ).
1. Calculer OM en fonction de a et de b.
2. La longueur [OM] représente une certaine moyenne des nombres a et b.
  Laquelle ?
1. Montrer que les angles et ont la même mesure.
2. En déduire l’égalité : , puis exprimer MH en fonction de a et b.
3. La longueur MH représente une certaine moyenne des nombres a et b.
  Laquelle ?
Soit ( Γ’ ) le demi-cercle de centre O passant par H et qui coupe le segment [OM].
La perpendiculaire en O à la droite (OM) coupe ( Γ’ ) en G.
1. Exprimer le rayon de ( Γ’ ) en fonction de a et de b ?
  En déduire que .
2. En déduire une expression de MG en fonction de a et b.
3. La longueur MG représente une certaine moyenne des nombres a et b.
  Laquelle ?
1. On considère le point N du segment [OM] tel que MN = MH.
  La parallèle à la droite (AB) passant par N coupe le segment [MH] en K.
  Exprimer MK en fonction de a et de b.
2. La longueur MK représente une certaine moyenne des nombres a et b.
  Laquelle ?
Ranger dans l’ordre croissant les quatre moyennes : m, g, h et q en utilisant des propriétés à caractère géométrique qui vous permettront de comparer les longueurs OM, MH, MG et MK.
(Indice : « Quel est le plus grand côté d’un triangle rectangle ? ».)