Comment visualiser les moyennes ?

Une visualisation graphique

Objectif, niveau et difficultés
Il s’agit de remarquer que les quatre moyennes envisagées relèvent d’une seule et même problématique, qui est en fait d’ordre fonctionnel. La question 1 ne prend tout son intérêt que si une autre des questions est envisagée. Les questions 1 et 2 peuvent être posées en classe de 3^ème mais sont difficiles à exploiter à ce niveau. Il est plutôt conseillé d’aborder les questions 1, 2, 3 en classe de 2^nde ou de 1^ère, la question 4 attendra la Terminale : logarithme oblige !

Définition - Si a et b sont deux nombres strictement positifs :

	la moyenne arithmétique des nombres a et b est le nombre : ;
	la moyenne géométrique des nombres a et b est le nombre : ;
	la moyenne quadratique des nombres a et b est le nombre : ;
	la moyenne harmonique des nombres a et b est le nombre : .

L’objectif de ce problème est de visualiser ces moyennes à l’aide de la représentation graphique de fonctions bien choisies.

Soit f la fonction définie pour tout réel x par : f(x) = x.
1. Le plan est rapporté à un repère .
  Tracer la courbe représentative (C_f) de la fonction f dans ce repère.
2. Soit A et B deux points de cette courbe d’abscisses respectives a et b (avec a > 0 et b > 0).
  Quelles sont les ordonnées y_A et y_B des points A et B ?
3. Placer sur la courbe le point M dont l’ordonnée est .
  Quelle est alors l’abscisse du point M ?
Soit g la fonction définie pour tout réel x positif par : g(x) = x².
1. Le plan est rapporté à un repère .
  Tracer la courbe représentative (C_g) de la fonction g dans ce repère.
2. Soit A et B deux points de cette courbe d’abscisses respectives a et b (avec a > 0 et b > 0).
  Quelles sont les ordonnées y_A et y_B des points A et B ?
3. Placer sur la courbe le point M dont l’ordonnée est .
  Quelle est alors l’abscisse du point M ?
Soit h la fonction définie pour tout réel x strictement positif par : .
1. Le plan est rapporté à un repère .
  Tracer la courbe représentative (C_h) de la fonction h dans ce repère.
2. Soit A et B deux points de cette courbe d’abscisses respectives a et b (avec a > 0 et b > 0).
  Quelles sont les ordonnées y_A et y_B des points A et B ?
3. Placer sur la courbe le point M dont l’ordonnée est .
  Quelle est alors l’abscisse du point M ?
Soit k la fonction définie pour tout réel x strictement positif par : k(x) = ln(x).
1. Le plan est rapporté à un repère .
  Tracer la courbe représentative (C_k) de la fonction k dans ce repère.
2. Soit A et B deux points de cette courbe d’abscisses respectives a et b (avec a > 0 et b > 0).
  Quelles sont les ordonnées y_A et y_B des points A et B ?
3. Placer sur la courbe le point M dont l’ordonnée est .
  Quelle est alors l’abscisse du point M ?

Information Plus généralement, soit F une fonction définie sur

telle que l’équation F(x) = 0 admet une solution unique pour tout réel x > 0.
Pour tous nombres strictement positifs a et b, on définit la « F-moyenne » des nombres a et b le nombre m_Fdéfini par l’égalité :

.
Ainsi, les moyennes envisagées dans ce problème sont des cas particuliers de ce type de moyenne, pour des fonctions F bien choisies.