Comment visualiser les moyennes ?

Toutes les moyennes dans une même figure

Objectif, niveau et difficultés
L’étude de cette configuration très riche est envisageable avec les outils de la classe de 3^ème, mais elle ne serait pas méprisable en 2^nde. Ce problème sera repris et poursuivi dans le problème 13, où l’on envisage en outre de comparer géométriquement les quatre moyennes envisagées.

Définition - Si a et b sont deux nombres strictement positifs :

	la moyenne arithmétique des nombres a et b est le nombre : ;
	la moyenne géométrique des nombres a et b est le nombre : ;
	la moyenne quadratique des nombres a et b est le nombre : ;
	la moyenne harmonique des nombres a et b est le nombre : .

Faire une figure de belle taille d’après la description suivante :
« Soit [AB] un segment quelconque de milieu O.
Tracer un demi-cercle ( Γ ) de diamètre [AB].
On considère H un point quelconque du segment [OA], distinct de O et de A.
La perpendiculaire en H à la droite (AB) coupe le demi-cercle ( Γ ) en M. »
Cette figure sera complétée au fur et à mesure.

On pose : AH = a et HB = b (avec a < b ).
1. Calculer OM en fonction de a et de b.
2. La longueur [OM] représente une certaine moyenne des nombres a et b.
  Laquelle ?
1. Montrer que les angles et ont la même mesure.
2. En déduire l’égalité : , puis exprimer MH en fonction de a et b.
3. La longueur MH représente une certaine moyenne des nombres a et b.
  Laquelle ?
Soit ( Γ’ ) le demi-cercle de centre O passant par H et qui coupe le segment [OM].
La perpendiculaire en O à la droite (OM) coupe ( Γ’ ) en G.
1. Exprimer le rayon de ( Γ’ ) en fonction de a et de b ?
  En déduire que .
2. En déduire une expression de MG en fonction de a et b.
3. La longueur MG représente une certaine moyenne des nombres a et b.
  Laquelle ?
1. On considère le point N du segment [OM] tel que MN = MH.
  La parallèle à la droite (AB) passant par N coupe le segment [MH] en K.
  Exprimer MK en fonction de a et de b.
2. La longueur MK représente une certaine moyenne des nombres a et b.
  Laquelle ?