Comment visualiser les moyennes ?

Hauteur d’un triangle rectangle et moyenne géométrique

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Objectif, niveau et difficultés
C’est un problème classique faisant intervenir la moyenne géométrique. Il est incontournable au collège comme au lycée, car la configuration à l’étude permet la construction d’un segment de longueur (c’est le segment [MH]) à partir de deux autres de longueurs respectives a et b (les segments [AH] et [BH]). Une partie de l’étude peut être abordée en 5ème (où l’on peut montrer que les angles et ont la même mesure), les deux premières méthodes sont possibles en 3ème, la dernière, basée sur des triangles semblables, est du niveau de la 2nde. L’étude peut être poursuivie en enseignement de spécialité de Terminale S, où il est intéressant d’étudier les différentes similitudes transformant l’un des triangles en l’autre (les trois triangles AMB, AHM et MHB étant semblables).

 

Dans un triangle AMB rectangle en M, H est le pied de la hauteur issue de M.
On pose AH = a et BH = b.
L’objectif de l’exercice est d’exprimer MH en fonction de a et b par trois méthodes différentes.

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1ère méthode

A - Dans un cas particulier
Ici, on prend AH = 3 cm et HB = 2 cm.

  1. Faire une figure.
     
    1. Montrer que AM2 = MH2 + 9 et que MB2 = MH2 + 4
    2. En déduire l’égalité : AB2 = 2 x MH2 + 13
    3. Calculer alors la valeur exacte de la hauteur MH
    4. Montrer que l’on a l’égalité : MH2 = AH x HB
       
  3. Application : en déduire une construction à la règle et au compas d’un segment de longueur à partir d’un segment [AB] mesurant 5 cm et d’un point H placé sur [AB] à 3 cm du point A.
    (Faire la figure en laissant les traits de constructions.)

B – Dans le cas général

Dans cette partie, les longueurs AH et BH ne sont pas précisées ; on note AH = a et BH = b.

  1. Appliquer le théorème de Pythagore dans les trois triangles de la figure.
  2. Prouver alors l’égalité :AB2 = 2 x MH2 + a2 + b2.
  3. En déduire une expression réduite de MH en fonction des nombres a et b.
    (On pourra écrire : AB2 = (AH + HB)2 = ... .)

 

Définition : étant donnés deux nombres positifs a et b, le nombre est appelé la moyenne géométrique des nombres a et b.

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2ème méthode

A – Dans un cas particulier

On pourra utiliser les deux résultats suivants : et .
Ici, on considère un triangle AMB rectangle en M tel que : et AM = 4 cm.

  1. 1. Faire une figure.
    1. Calculer la longueur AH.
    2. Calculer la longueur MH, et mettre le résultat sous la forme , où a et b sont entiers et b est le plus petit possible.
       
    1. Calculer la mesure en degré de l’angle .
    2. En déduire la longueur HB.
       
  4. Montrer que l’on a l’égalité : MH2 = AH x HB.

B – Dans le cas général

  1. Montrer que .
  2. En exprimant dans deux triangles différents, prouver l’égalité : MH2 = AH x HB.
    On retrouve alors la même expression de MH en fonction de a et b qu’à la fin de la 1ère méthode.
    Ce qui est rassurant !
    Ainsi, MH est la moyenne géométrique des nombres a et b.

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3ème méthode (niveau Seconde)

  1. Montrer que les triangles AHM et MHB sont semblables.
     
  2. En déduire l’égalité MH2 = AH x HB.

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