Nombres réels et Analyse
Fonctions - Thème N°11
Équations fonctionnelles : aspect algébrique

    Objectif : Il s’agit de résoudre une première équation fonctionnelle classique (partie I), par une méthode algébrique, puis de ramener la résolution d’une deuxième équation de ce type à la première, par composition de fonctions.

    Niveau et difficultés : Ce thème peut être abordé avec des connaissances modestes de Terminale S, qui se cantonnent aux propriétés de base des fonctions logarithme et exponentielle.

I)

    On veut déterminer toutes les applications de l’ensemble Q des nombres rationnels dans l’ensemble R des nombres réels telles que pour tout x et tout y dans Q :

f(x + y) = f(x) + f(y)

    Soit f une fonction vérifiant les hypothèses précédentes.

1. Déterminer f(0) ;

2. Pour tout nombre entier n Î N, calculer f(n) en fonction de f(1) ;

3. Pour tout nombre entier n Î N-{0}, calculer en fonction de f(1) ;

4. Pour tout p Î N et tout q Î N, q ¹ 0, calculer en fonction de f(1) ;

5. Montrer que pour tout rationnel r Î Q : f(-r) = -f(r) ;

6. Conclure qu’il existe un nombre réel a Î R tel que pour tout rationnel x Î Q : f(x) = ax.

II)

    On s’intéresse maintenant aux applications g de l’ensemble R^+* des nombres réels strictement positifs dans l’ensemble R des nombres réels telles que pour tout x et tout y dans R^+* :

g(xy) = g(x)g(y)

    Soit g une fonction vérifiant les hypothèses précédentes.

1. Montrer que s’il existe un réel x₀, x₀Π R^+*, tel que g(x₀) = 0, alors pour tout x de R^+*, g(x) = 0 ;

2. Montrer que s’il existe un réel x₀, x₀Π R^+*, tel que g(x₀) ¹ 0, alors g(1) = 1 ;

3. Montrer que s’il existe un réel x₀, x₀Π R^+*, tel que g(x₀) ¹ 0, alors pour tout réel dans R^+*, g(x) ³ 0

4. On suppose qu’il existe x₀, x₀Π R^+*, tel que g(x₀) ¹ 0 et on considère l’application f = Ln o g o Exp où Ln est la fonction logarithme népérien et Exp la fonction exponentielle :

   1. f est-elle bien définie sur l’ensemble R ?

   2. Montrer que f vérifie la propriété : pour tout et tout y dans R, f(x + y) = f(x) + f(y) ;

   3. En déduire l’existence d’un réel a tel que, pour tout x élément de  R^+* de la forme x = exp(y) avec y Î  R, g(x) = Exp(aLnx).