Nombres réels et Analyse.
Suites - Thème N°3
Quelques suites de limite 2008

    Objectif : C’est un sujet d’imagination, qui doit susciter de la part de l’élève un certain recul sur les connaissances acquises concernant les limites de suites. Prévoir la convergence d’une suite ainsi que la valeur de sa limite à partir du mode de génération sont les objets de ce thème.

    Niveau et difficultés : Le sujet peut être abordé en 1^ère S (à l’exception de la question f), mais il est surtout recommandé comme un exercice de bilan en Terminale S, en fin d’étude du chapitre sur les suites.

    Dans chacun des cas suivants, déterminer lorsque c’est possible une suite non constante dont tous les termes sont strictement positifs, qui converge vers la valeur 2008, et qui vérifie la condition indiquée.

1. u_n = f(n), où f est une fonction homographique, c’est-à-dire une fonction qui s’exprime comme le quotient de deux fonctions affines.
    

2. (u_n) est une suite géométrique ;
    
3. (u_n) est la somme des n premiers termes d’une suite géométrique ;
    
4. (u_n) est une suite arithmétique ;
    
5. (u_n) est une suite définie par une relation de récurrence affine, c’est-à-dire qu’il existe deux réels a et b tels que l’on ait, pour tout entier n : u_n+1 = a(u_n) +b ;
    
6. (u_n) est une suite telle que, si v_n = u_2n et w_n = u_2n+1, alors les deux suites extraites (v_n) et (w_n) sont adjacentes.