Dans son ouvrage Summa de
Arithmetica, Geometrica, Proportio et Proportionalita (1494), Luca Pacioli a
proposé un problème, dont voici une version adaptée pour le collège :
« Deux
joueurs ont misé chacun 42 ducats dans un jeu où seul le hasard intervient, et
où le premier qui a gagné 5 parties empoche la totalité de l’enjeu. Le jeu est
interrompu alors qu’un joueur a gagné 4 parties et l’autre 3. Pour être
équitable, quelle somme doit récupérer chaque joueur ? »
Luca Pacioli a donné sa solution :
« Il faut répartir les enjeux
proportionnellement aux gains réalisés par chacun des joueurs. »
Nicolo Tartaglia a critiqué la solution de Pacioli :
« Si un joueur avait
gagné 1 partie et l’autre 0 au moment de l’interruption, le premier joueur
empocherait la totalité de l’enjeu, ce qui est inéquitable puisque le deuxième
joueur a encore de bonnes chances de l’emporter. »
Geronimo Cardan a donné sa solution :
« Il faut répartir les enjeux en
fonction du nombre de parties qui restent à gagner par chaque joueur. »
Blaise Pascal, qui a réfléchi à un problème analogue posé par le Chevalier de
Méré, donne une solution du type suivant :
« Supposons que les joueurs aient pu
joueur une partie supplémentaire. Si le joueur en retard gagne cette partie
fictive, ils sont à égalité et chacun doit retirer sa mise initiale de 42
ducats. Si le joueur en avance gagne cette partie fictive, le jeu est terminé et
ce joueur empoche la totalité des 84 ducats. Ce dernier doit donc empocher au
moins 42 ducats et, puisqu’il a une chance sur deux de gagner, la moitié des 42
ducats restants, soit 63 ducats. »
- Faire une recherche documentaire sur les cinq personnages mentionnés :
époque, pays, principaux travaux, …
- Selon Luca Pacioli, quelle somme doit retirer chacun des joueurs ?
Et selon Cardan ?
Et selon Pascal ?
- La critique de Tartaglia semble-t-elle raisonnable ?
- Quelle solution vous paraît-elle la meilleure ?
Cet exercice peut être utilisé pour introduire les probabilités, mais pas seulement. Il fait appel aux mathématiques (proportionnalité, probabilités), mais aussi à la compréhension du texte, à l’histoire et à la recherche documentaire.