Le dé repose au départ sur la face «1».
La
valeur minimale de s est
donc 1+2+1+2+…+1+2
= 3 ´
1001 = 3003.
Cette
somme contient 1001 nombres «2» et 1000 nombres «1»
si l’on excepte le «1» initial.
La
valeur maximale de s est 1+4+3+4+3+…+4+3+4 = 1+4+1000´7=7005.
Remarque :
Le calcul précédent est aisément généralisable. Appelons n (n³1)
le nombre d’étapes. sn et Sn
les valeurs minimales et maximales de la somme obtenue au bout des n
étapes.
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Pour n = 2, s2 = 1 + 2 + 1 = 1 + 1´3 et S2 = 1 + 4 + 3 = 1 + 1´7. |
Supposons que pour n = 2p, s2p = 1 + 3p et S2p = 1 + 7p.
Il vient s2p+2 = s2p + 2 + 1 = 1 + 3p + 3 = 1 + 3(p+1), et S2p+2 = S2p + 4 + 3 = 1 + 7(p + 1).
On
montre de même que si n est impair, s2p+1 = 3(p+1) et
S2p+1
= 5+7p.
On retrouve bien dans le cas p = 1000,
les valeurs trouvées plus haut.
L’intérêt du dé tétraédrique est de pouvoir passer d’une face donnée à toute autre face, par basculement autour d’une des trois arêtes disponibles. Il est donc possible de substituer à tout numéro de face k (k = 1, 2, 3, 4), dans une somme s, le numéro de toute autre face distincte de k.
Ainsi, en partant de s0 = s2001 = 3003, le remplacement progressif des 1001 numéros «2» par des numéros «3» permet à s de prendre toute valeur entière comprise entre 3004 et 4004 .
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Posons s1
= 4004 = 1+3+1+3+1+…+1+3. Le
remplacement progressif des 1000 «1» par des «2»
dans s1
permet
à s de prendre toute valeur entière
entre 4005 et 5004. |
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Posons s2
= 5004 = 1+3+2+3+2+…+2+3. Le
remplacement progressif des 1001 «3» par des «4»
dans s2 permet à s
de prendre toute valeur entière entre 5005 et 6005. |
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Posons s3 = 6005 = 1+4+2+4+2+…+2+4. Le remplacement progressif des 1000 «2» par des «3» dans s3 permet à s de prendre toute valeur entière entre 6006 et 7005. Ainsi s peut prendre toute valeur entière comprise entre 3003 et 7005. |
