Exercice N°3 : Un corrigé

 

  1. Appelons S3 le solide constitué des trois pièces, installé au bord de la table.

Soit  P le plan défini par le “dessus” de la table. Les projetés orthogonaux, sur P, des centres d’inertie des trois pièces sont alignés sur la droite D que nous rapportons au repère  où 

Les abscisses x1 , x2 , x3, de ces trois projetés orthogonaux sont respectivement   L’abscisse g3 du centre d’inertie  G3 de S3  est, en appelant m la masse commune des pièces de monnaie :  . Ainsi, S3 est bien en équilibre.

 

  1. Les notations de cette question généralisent les précédentes.

Le solide Sn-1 étant donné, on suppose gn-1=0. Glissons au ras de la table une nième pièce. L’abscisse de son centre d’inertie est xn=1. L’abscisse g’n du  centre d’inertie du solide S’n ainsi constitué est : 

Le solide Sn  est obtenu à partir du solide S’n par translation de vecteur  . Par conservation du barycentre, on obtient bien gn = 0 d’où le résultat.

 

Par définition même de l’empilage,   pour tout entier naturel n > 1 :


Avec n = 1,  on obtient immédiatement  .

 

On obtient ainsi   . Une longueur L, entière, étant donnée, il suffit donc, pour que le surplomb soit de longueur plus grande que L, que l’on ait

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