Exercice N°2 : Un corrigé

[BA] étant un diamètre de c₁, le triangle BMA est rectangle en M. Les droites (BM) et (AM’ ) sont donc parallèles. c₂ est  l’image de  c₁ par deux homothéties. L’une, de rapport négatif a pour centre A et l’autre, de rapport positif envoie B sur A. Notons h cette seconde homothétie. h(M) est un point N de c₂ tel que (BM ) et  (AN ) soient parallèles. On a donc bien N = M’ puisque par hypothèse, les points A, M, M’ sont distincts. (MM’ ) passe donc par le centre O de l’homothétie h ; c’est un point fixe de la droite (O₁O₂).

(O₁J ) est médiatrice de [AM], (O₂J ) est médiatrice de [AM’ ]. Le triangle O₁JO₂ est rectangle en J . J appartient donc au cercle de diamètre [O₁O₂].
Réciproquement, soit J un point du cercle de diamètre [O₁O₂]. Lorsque J est distinct de O₁ et de O₂, les perpendiculaires issues de J à (O₁J ) et à (O₂J ) recoupent c₁ et c₂ en M et M’ .  Comme O₁M = O₁A  et que O₂M’  = O₂A, (O₁J) et (O₂J) sont les médiatrices respectives des segments [AM] et [AM’ ]. Le triangle MAM’  est bien rectangle en A.  L’ensemble cherché est le cercle de diamètre [O₁O₂] privé des points O₁ et O₂.

Posons :

L’aire du triangle MAM’ est donc a(x)=  . Cette expression est maximale lorsque x=p/2