|
n |
pn |
n |
pn |
n |
pn |
n |
pn |
|
1 |
20 |
6 |
16,66 |
11 |
16,36 |
16 |
16,25 |
|
2 |
20 |
7 |
17,14 |
12 |
16,66 |
17 |
16,47 |
|
3 |
20 |
8 |
17,50 |
13 |
16,92 |
18 |
16,66 |
|
4 |
20 |
9 |
17,77 |
14 |
17,14 |
19 |
16,84 |
|
5 |
16 |
10 |
16 |
15 |
16 |
20 |
16 |
On peut émettre, entre autres, les conjectures suivantes :
 |
pn = 16 lorsque n est multiple de 5. |
|
Les suites (p5k+1), (p5k+2) (p5k+3)
(p5k+4) sont décroissantes. |
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p5k+1 < p5k+2 < p5k+3
< p5k+4 pour tout entier naturel k. |
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(pn) converge vers 16 comme d’ailleurs les suites extraites (p5k+1), (p5k+2), (p5k+3), (p5k+4) (p5k). |
On se propose, dans les questions qui viennent, de prouver certaines de ces conjectures.
et 4. Si n = 5k, on paye 4k livres et l’éditeur offre k livres. Le prix payé est donc 80k€ et le prix de revient moyen est bien 16€.
Le nombre de livres offerts reste égal à k lorsque n = 5k+r
où r = 1, 2, 3, 4.
On a donc pn=
qu’il est commode de mettre sous la forme : 
.
Cette formule donne la forme explicite de pn et prouve en outre que l’équation
pn = 16 n’a pas d’autre solution que n = 5k .
La suite (pn) converge vers 16 comme on pouvait s’y
attendre.
Compléments : Il est intéressant de constater :
|
Que |
|
Que la suite (p5k+r) pour r fixé est
décroissante ; en effet : |
converge vers r .