Exercice n°4 : corrigé

1. La valeur maximale de x est évidemment x = 4, dans ce cas on aura aussi y = 4. Pour que S existe, il est nécessaire que AS soit supérieur à 4, or d’après l’inégalité triangulaire, AS £ 2x donc x ³ 2. Il faut encore que T appartienne au segment [AD] donc la valeur minimale de x est obtenue lorsque T est en D.

Dans le cas général, appelons a l’angle et b l’angle puisque (RT) est la médiatrice de [AS]. Évaluons donc tanb de deux manières. Dans le triangle RTA d’une part et dans le triangle SAB d’autre part. On obtient ainsi

Dans le cas particulier où T = D, on a y = 6 et d’après le théorème de Pythagore, .
On obtient ainsi la valeur minimale .
 

2. La relation précédemment établie permet de déterminer une relation entre x et y puisque
   
   On en déduit donc que
    
3. L’aire de RST est . Appelons f cette fonction, elle est dérivable sur l’intervalle et sur cet intervalle
   
   Puisque est bien élément de I, il est clair que f est minimale pour .
   La valeur minimale de l’aire est du triangle RST est .

   Notons que dans ce cas, ce qui signifie que le triangle RST est équilatéral.