Les triangles BAE, BEF, BFC
d’une part et les triangles DAE, DEF, DFC d’autre part ont même hauteur
et des bases de même mesure, ils ont donc la même aire. Les quadrilatères
cités ont donc également la même aire.
Puisque (HF ) et (BD)
sont parallèles, F et H sont équidistants de la droite (BD).
Les triangles BFH et DFH , qui ont en commun le côté [HF ]
ont donc la même aire. L’aire du quadrilatère DCBF est la somme des
aires des triangles DFC, FCH et FHB ; c’est donc aussi la somme
des aires des triangles DFC, FCH et DFH.
Le quadrilatère DCBF et le triangle DHC ont la même aire égale d’après la question 1°) au tiers de l’aire de ABCD. Le même raisonnement permet d’affirmer que l’aire du quadrilatère ADEB est la même que celle du triangle DGA et donc de conclure.
Remarque : La question posée se résout bien dans le contexte de la figure
donnée en annexe, le raisonnement général est plus délicat car il existe des
configurations pour lesquelles les points G et H n’appartiennent plus aux
segments [AB] et [BC], il faut alors faire la construction avec la seconde
diagonale du quadrilatère. Le cas où le quadrilatère est un parallélogramme est
un cas particulier intéressant.
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