Exercice n°1 : corrigé
La spirale

    Quelques notations et calculs préliminaires.

    Notations
    Si n est un entier naturel strictement positif, appelons A_n, A'_n, B_n, C_n, D_n, E_n  les points du plan de coordonnées : A_n(n,0), A'_n(-n,0), B_n(n,n), C_n(-n,n), D_n(-n+1,-n),  E_n(n,-n).
    La spirale est donc la ligne brisée OD₁E₁B₁C₁D₂...D_nE_nB_nC_n... Notons que A_n est le milieu du segment [E_nB_n] et que A'_n appartient au segment [C_nD_n+1]

    Calculs préliminaires
    On remarque que
    l(A₁)=3,
    l(A₂)=3+11=3+(3+8),
    l(A₃)=3+(3+8)+(3+2x8)
    ce qui permet d’imaginer que
    lorsque n est un entier naturel non nul.
    On peut s’assurer que cette formule est encore vraie au rang suivant car
     .
    On en déduit que  .
    On montre de même que . Bien entendu, la récurrence n’est pas exigée en première, une démarche empirique sera acceptée.

1. Si OA = 5, A=A₅ ou A=A'₅ donc l(A)=95 ou l(A)=115
    
2. B appartient au segment [B₂₀₀₆C₂₀₀₆]
   donc l(B)=l(A₂₀₀₆)+A₂₀₀₆B₂₀₀₆+B₂₀₀₆B
   et l(B)=4(2006)²-2006+2006+1=4(2006)²+1=16 096 145
    
3. l(C)=2006. recherchons un entier n tel que l(A_n) soit assez voisin de 2006.
   Résolvons donc l’équation 4n²-n-2096=0 dont la solution positive est .
   l(A₂₃)=2093, l(A₂₂)=1914 et l(A'₂₂)=2002.
   Le point C a donc pour coordonnées (-22,-4).
    
4. Soit M(n,p) un point à coordonnées entières du plan distinct de O
   1. Supposons n ³ 0.
      1. Si |p| £ n alors M Î [E_nB_n]
      2. Si |p| > n alors M Î [C_pB_p] si p > 0 et M Î [D_-pE_-p] si p < 0
   2. Supposons n < 0.
      1. Si |p| < -n+1 alors M Î [C_-nD_-n+1]
      2. Si |p| ³ -n+1 alors M Î [C_pB_p] si p > 0 et M Î [D_-pE_-p] si p < 0

   Dans tous les cas, M appartient à la spirale.