Exercice n°1
La spirale

    Le plan, muni d’un repère orthonormal d’origine O (unité 1 cm), est quadrillé par les droites parallèles aux axes de coordonnées et passant par tous les points à coordonnées entières du plan.
    Sur ce quadrillage on construit, en partant du point O vers le bas, une ligne brisée en forme de « spirale » qui « tourne dans le sens contraire des aiguilles d’une montre », conformément au dessin ci-dessous.

    Pour tout point M à coordonnées entières, on note l(M) la longueur de la portion de « spirale » qui va du point O jusqu’au point M.

1. Soit A un point de l’axe des abscisses tel que OA=5.
   Déterminer les valeurs possibles de l(A).
2. Soit B le point de coordonnées (2005 ; 2006).
   Déterminer l(B).
3. Déterminer les coordonnées du point C tel que l(C)=2006.
4. La « spirale » passe-t-elle effectivement par tous les points à coordonnées entières du plan ?
   

    On rappelle le résultat suivant : pour tout entier naturel n non nul :