Exercice n°3 : corrigé
Les licornes

1.  
   1. Supposons b=r par exemple,
      alors b rencontres « br » conduiront à l’ensemble {0,0,v+b+r}.
      On raisonne de même pour les autres cas.
       
   2. On suppose v>0 et r = b+3.
      Après une rencontre « rv » la population sera {b+2, b+2, v-1},
      il suffit alors d’appliquer le résultat a).
       
   3. On suppose v>k>0 et r = b+3k.
      Au bout de k rencontres « rv », la population sera {b+2k, b+2k, v-k}
      d’où le résultat en appliquant encore a).
       
2.  Si P={1,2,3} l’arbre suivant montre toutes les évolutions possibles de la population et cette évolution est cyclique :
   
   La population ne peut donc pas devenir unicolore.
    
3. Supposons que n rencontres aient eu lieu et posons
   n=n_br+n_bv+n_rv où n_br, n_bv, n_rv sont des entiers positifs ou nuls et désignent respectivement les nombres de rencontres entre des licornes bleues et rouges , bleues et vertes, rouges et vertes.
   Compte tenu de la règle des couleurs :
       - le nombre de licornes bleues sera modifié de : 2n_rv-n_br-n_bv,
       - le nombre de licornes rouges sera modifié de : 2n_bv-n_br-n_rv,
       - le nombre de licornes vertes sera modifié de : 2n_br-n_rv-n_bv,
   Comme n=n_br+n_bv+n_rv, la population de licornes, à l’issue de ces n rencontres sera :
   P'={b-n+3n_rv, r-n+3n_bv, v-n+3n_br} .
   La population sera donc unicolore au bout des n rencontres si et seulement si b- r ou b- v ou r- v est multiple de 3