Exercice n°3 : corrigé
« Des trapèzes de même aire »

    Le but de cet exercice est de déterminer les trapèzes rectangles qui, sous certaines conditions de distances et d’angles, sont partagés en deux trapèzes de même aire par une parallèle donnée à leurs bases.

 

  1. Question préliminaire :
    si et seulement si 
    m et p étant des entiers naturels ,
    (m,p) est donc solutions de l’un des deux systèmes ou ce qui donne une solution unique (3,1).
     

  1. On considère les trapèzes rectangles ABCD de bases [AB] et [CD] tels que :
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    les distances AB, AD et CD sont des nombres entiers, et AD > 2.
    Soit M le point du segment [AD] tel que AM = 2.
    Déterminer les distances AB, AD et CD de sorte que les aires des trapèzes MNBA et MNCD soient égales.

Posons MN = x et DM = y donc x > y.
L’aire du trapèze ABNM est 2x + 2,
L’aire du trapèze MNCD est .
On cherche donc x et y afin que soit qui s’écrit encore : .
Il vient x = 5 et y = 4 donc AB = 7, AD = 6, CD = 1.

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