Exercice n°4 : corrigé
« Périodes »

    On considère la fonction f définie sur l’intervalle [0, 1] par :

1. Représenter graphiquement la fonction f et montrer que
   si , alors .

La représentation graphique est celle d’une fonction affine par intervalle.
Lorsque , et lorsque ,
donc lorsque x varie dans l’intervalle [0,1], il en est de même pour f(x) ce qui assure la possibilité de fabrication de la suite de nombres.
 

2.  Etude des cas particuliers
   1. Si on obtient :
      
      d’où le résultat.
       
   2. Si on obtient :
       

On constate donc que .
Or 2007 = 2005 + 2 et d’après ce qui précède, x₂₀₀₅ = x₀ .
On en déduit finalement .

3. Cherchons tel que  x₇ = x₀.
   On peut par exemple adopter le schéma suivant :
   ,
   donc convient.
   Procédons de même si l’on veut que  x_p = x₀,
   on trouvera .

Remarque : d’autres nombres répondent à la question comme 

3.  Posons où p < q.
   Il existe, dans l’intervalle [0,1], q fractions du type avec k=1,2,…q.
   D’autre part, si x est un rationnel, f(x) aussi et a le même dénominateur que x.
   f(x) ne peut donc prendre qu’au plus q valeurs et la suite est donc nécessairement périodique.