Exercice n°4
« Périodes »

    On considère la fonction f définie sur l’intervalle [0, 1] par :

1. Représenter graphiquement la fonction f et montrer que
   si , alors .
   Un nombre  étant choisi, on fabrique une suite de nombres en posant :
   ,
    
2. Où l’on étudie quelques cas particuliers.
   1. On pose .
      Montrer que la suite obtenue est constante à partir de x₅.
   2. On pose .
      Ecrire les 5 premiers termes de la suite obtenue et en déduire la valeur de x₂₀₀₇.
   3. Peut-on trouver une valeur de x₀ telle que la suite de nombres se répète tous les 7 termes ?
      Tous les p termes (p étant un entier non nul quelconque) ?
       
3. Montrer que si x₀ est un nombre rationnel, la suite de nombres est périodique
   (c’est-à-dire qu’elle se répète à partir d’un certain rang).