On veut placer les
entiers 1, 2, 3, 4, 5, 6 dans les cercles représentés ci-contre, de telle
sorte que la somme S des trois nombres placés sur chaque côté du triangle
équilatéral soit la même sur les trois côtés.
- Donner une configuration solution du problème.
Voir ci contre
- Quelles sont toutes les valeurs possibles de la somme S ?
Appelons a, b, c, les nombres « posés » sur les sommets, la somme S
vérifie :
3S = 21 + a + b + c soit
 .
La valeur minimale de a + b + c est 1 + 2 + 3 = 6,
La valeur maximale est 4 + 5 + 6 = 15.
S ne peut donc prendre que les valeurs 9, 10, 11, 12.
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- Donner les configurations solutions, lorsqu’elles existent, pour
toutes ces valeurs de la somme S.
IL faut étudier les 4 cas successivement :
 | S = 9.
donc a + b + c = 6.
Cette somme ne peut être obtenue qu’avec le triplet 1,2,3.
On obtient la configuration ci-dessus.
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| S = 10.
donc a + b + c = 9.
Cette somme est obtenue avec les trois triplets (1,2,6) ; (1,3,5) ;
(2,3,4).
Le premier et le troisième triplet ne fournissent pas de solution,
le deuxième conduit à la solution ci contre :
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| S = 11 :
donc a + b + c = 12.
Cette somme est obtenue avec les trois triplets (1,5,6) ; (2,4,6) ;
(5,3,4).
Le premier et le troisième triplet ne fournissent pas de solution,
le deuxième conduit à la solution ci contre :
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| S = 12 :
donc a + b + c = 15.
Cette somme est obtenue avec le seul triplet (4,5,6) qui fournit une
quatrième et dernière solution « duale » de la première |
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