Exercice n°3 : corrigé
« La Sangaku »

    Au Japon, les Sangakus sont des tablettes commémoratives offertes dans un sanctuaire pour remercier les dieux de la découverte d’un théorème ; elles comportent des problèmes de géométrie qui mettent en jeu des cercles inscrits dans une figure donnée.
    Dans le problème qui suit, on considère un triangle ABC rectangle en A dont les côtés de l’angle droit ont pour mesures respectives AB = 4 et  = 3.

  1. Calculer le rayon r1 du cercle inscrit dans ce triangle.
    Chacun des triangles OAB, OAC, OBC a une hauteur égale à r,
    la somme de leurs aires est égale à l’aire du trian-gle ABC donc
    3r + 4r + 5r = 12 et r = 1.

  1. Deux cercles de même rayon sont tangents à deux côtés du triangle et tangents entre eux, comme sur la figure ci-contre.
    Posons .
    Comme les triangles ABC et A’BC’ sont semblables, on a où (A'C')  est la tangente commune aux deux cercles.
    Puisque O est le centre du cercle inscrit au triangle A'BC',  on peut reprendre le raisonnement de 1°).
    On obtient : soit puisque dans cette question , .

  1. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2.
    1. Exprimer en fonction de n le rayon rn de chaque cercle.
      Le résultat précédent s’applique avec soit .
      On obtient .
       
    2. Ce rayon est égal à si .

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