Exercice n°3
« La Sangaku »

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    Au Japon, les Sangakus sont des tablettes commémoratives offertes dans un sanctuaire pour remercier les dieux de la découverte d’un théorème ; elles comportent des problèmes de géométrie qui mettent en jeu des cercles inscrits dans une figure donnée.

     Dans le problème qui suit, on considère un triangle ABC rectangle en A dont les côtés de l’angle droit ont pour mesures respectives :
    AB = 4 et AC = 3.
  1. Calculer le rayon r1 du cercle inscrit dans ce triangle.
    (On pourra exprimer de deux manières l’aire de ce triangle.)
  1. Deux cercles de même rayon sont tangents à deux côtés du triangle et tangents entre eux, comme sur la figure ci-contre.
    Calculer le rayon r2 de chacun de ces cercles.
  1. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2.
    On considère n cercles tous tangents au côté [AB], tels que de plus :
bulletle premier est tangent au côté [AC] et au deuxième cercle ;
bulletle dernier est tangent au précédent et au côté [BC] ;
bulletchacun des autres est tangent à ses deux voisins.

 La figure ci-contre représente le cas N + 5.

  1. Exprimer en fonction de n le rayon rn de chaque cercle.
  2. Pour quelle valeur de n ce rayon est-il égal à  ?

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Exercice N°3 : Corrigé