Exercice n°2
« Les bons nombres »

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     On dit qu’un nombre entier supérieur ou égal à 2 est « bon » s’il peut s’écrire comme la somme de nombres entiers naturels non nuls, distincts ou non, dont la somme des inverses est égale à 1.
    On dit qu’il est « mauvais » s’il n’est pas « bon ».
    Ainsi, par exemple :

bullet, donc 2 est « mauvais »
(la seule décomposition possible pour 2 étant 1+1).
bullet ; , donc 3 est également « mauvais »
(les deux décompositions possibles pour 3 ayant été examinées).
  1. Déterminer pour chacun des nombres entiers de 4 à 10 s’il est « bon » ou « mauvais ».
  2. Montrer que le carré de tout nombre entier supérieur ou égal à 2 est « bon ».
  3. Montrer que si n est « bon », alors 2 n + 2 et 2 n + 9 sont « bons ».
  4. On admet que tous les nombres entiers de 24 à 55 sont « bons ».
    Qu’en est-il de tout nombre entier supérieur ou égal à 56 ?

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Exercice N°2 : Corrigé