Exercice n°4 : corrigé
« Un partage équitable »

1. Léonard est géomètre. Il veut partager un carré de côté 1 en trois parties de même aire selon le schéma ci-contre.
   Quelle valeur doit-il donner à x pour arriver à ses fins ?
     de manière immédiate

2. Mais Léonard est aussi esthète.
   Ne trouvant pas élégante sa construction, il décide de supprimer la zone triangulaire hachurée.
   Ainsi les trois parties restantes sont triangulaires.
   Peuvent-elles avoir la même aire ?
   
   Pour cela il faut et il suffit que
   aire(ABI) = aire(AIH) – aire(IHC)
   soit .
   x est alors la solution positive de l’équation que l’on notera α.
   Les élèves de première S peuvent conclure :

3. Et Léonard est mathématicien.
   Ayant réalisé grossièrement (ci contre) la construction de la question 2, il mène du point H, la perpendiculaire (HJ) à la droite (AB).
   Il a l’impression que les droites (HJ), (DI) et (AC) sont concourantes.
   Qu’en est-il ?
   
   Dans le repère , le point I a pour coordonnées et la droite (DI) a pour équation .

Cette droite coupe la droite (AC) d’équation y = xau point d’abscisse x > 0 solution de l’équation .
Il vient .
Comme  α. est solution de , on en déduit que .
Léonard a bien vu.