Exercice n°1 : corrigé
« Les triangles magiques »

On considère trois entiers deux à deux distincts et compris entre 1 et 9.

1. La plus petite valeur possible pour leur somme est 1 + 2 + 3 = 6
2. La plus grande valeur possible pour leur somme est 7  + 8 + 9 = 24.

1. Dans cette question, on pose n₁ = 2 , n₄ = 5 et n₇ = 8.
   On obtient le triangle 20-magique ci dessous (pas de justification demandée)
   
    

2. On considère un triangle S-magique et on appelle T la somme des nombres placés sur les trois sommets.

   1. 45 + T = 3S puisque 1+ 2 + 3+ 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45 = 3S -T.

   2. D’après le préliminaire, 6 ≤ T ≤ 24 donc 6 ≤ 3S - 45 ≤ 24 et 17 ≤ S ≤ 23.

   3. Selon les valeurs successives de S, on a : (17,6), (18,9), (19,12), (20,15), (21,18), (22,21), (23, 24).
       

3. Si S = 17, T = 6 , les nombres placés aux sommets sont donc 1, 2, 3, un tel triangle est proposé ci-dessous :
   
    

4. Prouver qu’il n’existe pas de triangle 18-magique.
   Si un tel triangle existe, T = 9 donc le chiffre 9 n’est pas sur un sommet,
   il est donc sur un côté par exemple : n₂ = 9.
   Il vient n₁ + n₃ + n₄ = 9 et n₁ + n₄ + n₇ = 9 d’où n₃ = n₇ ce qui est exclu.
    

5. Supposons que n₂ = 7 , alors n₁ + n₃ + n₄ = 12 et n₁ + n₄ + n₇ = 12
   et on conclut comme précédemment.
   Un triangle 19-magique est proposé ci-dessous :
   
    

6. S’il existe un triangle S-magique, le triangle (40 - S)-magique s’obtient en remplaçant n_i par 10-n_i pour i variant de 1 à 9.
    

7. Il existe au moins un triangle S-magique pour :
   S = 17 et S = 40-17 = 23,
   S = 19 et S = 40-19 = 21,
   S = 20.
   Il n’existe pas de triangle 18 ou 40-18 = 22-magique.